шпоры по физике


1.Кинематика прямолинейного движения материальной точки. Материальная точка. Система отсчета. Скорость и ускорение. Траектория, путь, перемещение.

Уравнение траектории. Кинематика - раздел физики, изучающий движение тел, не интересуясь причинами, обуславливающие это движение.

Механи́ческое движе́ниеэто изменение положения тела в пространстве относительно других тел с течением времени. (механическое движение характеризуется тремя физическими величинами: перемещением, скоростью и ускорением)Характеристики механического движения связаны между собой основными кинематическими уравнениями:Инерциальная система с постоянным угловым ускорениемМатериа́льная то́чка (частица) — простейшая физическая модель в механике — идеальное тело, размерами и вращением которого можно пренебречь. Можно также считать размеры тела бесконечно малыми по сравнению с другими размерами или расстояниями в пределах допущений исследуемой задачи. Положение материальной точки в пространстве определяется как положение геометрической точки. Практически под материальной точкой понимают обладающее массой тело, размерами, формой и вращением которого можно пренебречь при решении данной задачи Система отсчета: — это совокупность тела отсчёта, связанной с ним системы координат и системы отсчёта времени, по отношению к которым рассматривается движение (или равновесие) каких-либо материальных точек или тел. Скорость:  -векторная величина, характеризующая быстроту перемещения частицы по траектории, в который движется эта частица в каждый момент времени. -производная радиуса вектора частицы по времени. -производная от перемещения по времени.Ускорение: -векторная величина, характеризующая быстроту изменения вектора скорости. -производная от скорости по времени.Инерциальная система с постоянным угловым ускорением

Траектория - линия в пространстве, представляющая собой множество точек, в которых находилась, находится или будет находиться материальная точка при своём перемещении в пространстве относительно выбранной системы отсчёта. Существенно, что понятие о траектории имеряет физический смысл даже при отсутствии какого-либо по ней движения.

Путь s = f(t). Путь — длина участка траектории материальной точки, пройденного ею за определенное время.

Путь - скалярная величина, характеризующая длинну траектории движения тела. Перемещение направленный отрезок прямой, проведенный из начального положения движущейся точки в ее конечное положение (векторная величина)

2.Кинетатика криволинейного движения материальной точки. Тангенциальное, нормальное и полное ускорение. Формулы расчета нормального и тангенциального ускорения. Принцип относительности и суперпозиции движений. Криволинейные движения – движения, траектории которых представляют собой не прямые, а кривые линии. По криволинейным траекториям движутся планеты, воды рек. Криволинейное движение – это всегда движение с ускорением, даже если по модулю скорость постоянна. Криволинейное движение с постоянным ускорением всегда происходит в той плоскости, в которой находятся векторы ускорения и начальные скорости точки. В случае криволинейного движения с постоянным ускорением в плоскости xOy проекции vxи vy ее скорости на оси Ox и Oy и координаты x и  y точки в любой момент времени t определяется по формуламРазность фаз между перемещением и ускорением   Условия необходимые для совершения колебаний системой Инерциальная система с постоянным угловым ускорением Инерциальная система с постоянным угловым ускорением Разность фаз между перемещением и ускорением Тангенциальное ускорение — направлено по касательной к траектории. Является составляющей вектора ускорения a. Характеризует изменение скорости по модулю. Условия необходимые для совершения колебаний системойЦентростремительное или Нормальное ускорение — возникает при движении точки по окружности. Является составляющей вектора ускорения a. Вектор нормального ускорения всегда направлен к центру окружности.Инерциальная система с постоянным угловым ускорением , где v мгновенное значение скорости,   r – радиус кривизна траектории в данной точке, Полное ускорение — это корень квадатный из суммы квадратов нормально и тангенцального ускорений. Относительность движения: Положение каждого тела в пространстве всегда рассматривается относительно других тел. Тело может находиться в состоянии покоя относительно одного тела и одновременно - в состоянии движения относительно другого тела. Например, человек, сидящий в кресле летящего самолета, находится в состоянии покоя относительно самолета,  но одновременно — в состоянии движения относительно земли.  И «виноваты» в этом разные системы отсчета!  В этом и состоит относительность движения. Относительность движения проявляется и в том, что скорость, траектория, пройденный путь и некоторые другие характеристики движения относительны,  т.е. они могут быть различны в разных системах отсчета. Т.к. движение относительно, то задачи в механике можно решать только в условиях определенных выбранной системы отсчета.

Принцип суперпозиции: Если тело выполняет разные движения в разных направлениях, то эти движения могут рассчитываться отдельно и складываться по принципу суперпозиции. Например, если в одной плоскости тело совершает вращательное движение, а по оси, перпендикулярной этой плоскости — равномерное поступательное, то вид движения — винтовая линия с постоянным шагом.

3.Кинематика вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси. Угловое перемещение, угловая скорость и угловое ускорение. Связь между угловыми и линейными кинематическими величинами. Уравнение зависимости угла поворота от времени.

Вращательное движение тела вокруг неподвижной направленной оси — движение, при котором все точки тела движутся по окружностям, центры которых лежат на одной и той же прямой хх, называемой осью вращения.

Угловое перемещение — векторная величина, характеризующая изменение угловой координаты в процессе её движения.

Угловая скорость — отношение угла поворота радиус-вектора точки к промежутку времени, за который произошел этот поворот.(направление вдоль оси вокруг которой вращается тело)Инерциальная система с постоянным угловым ускорениемЧастота вращения — физическая величина, измеряемая числом полных оборотов, совершаемых точкой в единицу времени при равномерном движении в одном направлении(n) Период вращения — промежуток времени, в течение которого точка совершает полный оборот,  двигаясь по окружности (T) N – число оборотов, совершаемых телом за время t. Разность фаз между перемещением и ускорениемУсловия необходимые для совершения колебаний системой Угловое ускорение — величина, характеризующая изменение с течением времени угловой скорости тела. Инерциальная система с постоянным угловым ускорением Связь между угловыми и линейными величинами: Инерциальная система с постоянным угловым ускорением связь между линейной и угловой скоростью. Разность фаз между перемещением и ускорением связь между тангенциальным и угловым ускорением. Условия необходимые для совершения колебаний системой вязь между нормальным (центростремительным) ускорением, угловой скоростью и линейной скоростью.

При равномерном движении точки по окружности её траекторией является дуга. Точка движется с постоянной угловой скоростью Инерциальная система с постоянным угловым ускорением, а зависимость угла поворота точки от времени является линейной:Инерциальная система с постоянным угловым ускорением, где Разность фаз между перемещением и ускорением — начальное значение угла поворота. Эта же формула определяет угол поворота абсолютно твёрдого тела при его равномерном вращении вокруг неподвижной оси, то есть при вращении с постоянной угловой скоростью Условия необходимые для совершения колебаний системой. Важной характеристикой данного типа движения является линейная скорость материальной точки Инерциальная система с постоянным угловым ускорением Нужно помнить, что равномерное движение по окружности — движение равноускоренное. Хотя модуль линейной скорости и не меняется, но меняется направление вектора линейной скорости (из-за нормального ускорения)

4.Законы Ньютона. Формулировка первого закона и принцип его действия. Причины изменения скорости тела. Инерциальные и неинерциальные системы отсчета. Принцип относительности Галилея. Преобразования Галилея. Масса, сила, импульс тела. Формулировка второго закона Ньютона и уравнение движения материальной точки в инерциальной системе отсчета. Третий закон Ньютона и принципы его действия. Инвариантность уравнения движения относительно преобразований Галилея. Первый закон Ньютона называют также законом инерции. Закон звучит так: инерциальные системы существуют. Инерциальной системой называется такая система отсчета, в которой любая материальная точка находится либо в состоянии покоя, либо в состоянии равномерного прямолинейного движения. Закон говорит о том, что инерция существует. Другая формулировка закона инерции: тело, изолированное от внешних воздействий, пребывает либо в состоянии покоя, либо в состоянии равномерного прямолинейного движения. Если на тело не воздействуют никакие силы, оно движется по инерции. Понятие инерциальной системы отсчета – научная абстракция. В реальности таких систем практически нет. Причиной изменения скорости движения тела в инерциальной системе отсчета всегда является его взаимодействие с другими телами. Для количественного описания движения тела под воздействием других тел необходимо ввести две новые физические величины – инертную массу тела и силу. Первый закон Ньютона утверждает (которое с той или иной степенью точности можно проверить на опыте) о том, что инерциальные системы существуют в действительности. Этот закон механики ставит в особое, привилегированное положение инерциальные системы отсчета. Системы отсчета, в которых выполняется первый закон Ньютона, называют  инерциальными. Инерциальные системы отсчета – это системы, относительно которых материальная точка при отсутствии на нее внешних воздействий илиих взаимной компенсации покоится или движется равномерно и прямолинейно. Неинерциальные системы отсчета – это системы отсчета, в которых наблюдается ускоренное движение тел при отсутствии действия на них сил со стороны других тел. Причина неинерциальности систем отсчета – ускоренное движение этих систем отсчета относительно инерциальной системы. Движение тел в неинерциальных системах отсчета: выполняется второй закон Ньютона, если формально считать, что здесь, кроме реальных сил взаимодействия, существует еще так называемые силы инерции. Принцип относительности Галилея, который утверждает то же самое, но не для всех законов природы, а только для законов классической механики, подразумевая применимостьпреобразований Галилея и оставляя открытым вопрос о применимости принципа относительности к оптике и электродинамике. Преобразования Галилея – название преобразований в классической механике, согласно которым изменяются значения физических величин при переходе между различными инерционными системами отсчета. Преобразования Галилея позволяют описать физическое явление в инерциальной системе отсчета если известно как выглядит данное физическое явление в другой инерциальной системе отсчета. Если оси координат в двух системах отсчета имеют одинаковые направления, а одна система движется вдоль оси y второй системы с постоянной скоростью V, то преобразование имеют вид:  Инерциальная система с постоянным угловым ускорением Разность фаз между перемещением и ускорением Условия необходимые для совершения колебаний системой Инерциальная система с постоянным угловым ускорениемСоответственно меняются компоненты скорости  Инерциальная система с постоянным угловым ускорением Разность фаз между перемещением и ускорением Условия необходимые для совершения колебаний системой Другие величины, такие как ускорение, сила, масса при преобразованиях Галилея не меняются. Соответственно, не изменяется вид уравнений Ньютона. Говорят, что уравнение Ньютона инвариантны относительно преобразований Галилея. 

Масса- физическая величина, являющаяся мерой инерционных ( инертная масса ) и гравитационных ( гравитационная масса ) свойств тела называется инертной массой этого тела. В этом смысле масса выступает как свойство тел не поддаваться изменению скорости как по величине, так и по направлению. Инертная и гравитационная массы равны друг другу. Сила тяжести пропорциональна массе тела, на которое она действует  P=mg; Если тело покоится, то вес тела равен силе тяжести, на него действующей, и в формуле (1) можно считать Р весом тела. Значит, для покоящихся тел их веса пропорциональны массам, так что для двух тел с массами m1  и m2 и весами Р1 и Р2 справедливо равенство Инерциальная система с постоянным угловым ускорением Сила- векторная величина, являющаяся мерой механического воздействия на тело со стороны других тел или полей, в результате которого тело приобретает ускорение или изменяет свою форму и размеры (деформируется). В каждый момент времени сила характеризуется величиной, направлением в пространстве и точкой приложения.

Сила характеризуется числовым значением,  направлением  в  пространстве и точкой приложения. Единица силы – ньютон. 1 Н = кг 5. 0м/с 52 0.

Импульс тела р – физическая величина, равная произведению массы тела на его скорость: p=mV Закон сохранения импульса – для системы, состоящей из любого числа тел, суммарный импульс системы остается постоянным, при условии, что внешние силы отсутствуют. Инерциальная система с постоянным угловым ускорением отсюда находим: Разность фаз между перемещением и ускорением Второй Закон Ньютона: В инерциальных системах отсчёта ускорение, приобретаемое материальной точкой, прямо пропорционально вызывающей его силе, совпадает с ней по направлению и обратно пропорционально массе материальной точки. Обычно этот закон записывается в виде формулы: Условия необходимые для совершения колебаний системой где Инерциальная система с постоянным угловым ускорением — ускорение тела, Инерциальная система с постоянным угловым ускорением — сила, приложенная к телу, а Разность фаз между перемещением и ускорением — масса материальной точки. Или, в ином виде: Условия необходимые для совершения колебаний системойУравнение движения материальной точки в инерциальной системе отсчета: Инерциальная система с постоянным угловым ускорениемИнерциальная система с постоянным угловым ускорением Физический смысл производной : если точка движется вдоль оси x и ее координата изменяется по закону S(t),  то мгновенная скорость точки находиться по формуле v(t)=limРазность фаз между перемещением и ускорениемtУсловия необходимые для совершения колебаний системой0Инерциальная система с постоянным угловым ускорениемtS(t+Инерциальная система с постоянным угловым ускорениемt)−S(t)=SРазность фаз между перемещением и ускорением(t), а ускорение по формуле a(t)=limУсловия необходимые для совершения колебаний системойtИнерциальная система с постоянным угловым ускорением0Инерциальная система с постоянным угловым ускорениемtv(t+Разность фаз между перемещением и ускорениемt)−v(t)=vУсловия необходимые для совершения колебаний системой(t)=SИнерциальная система с постоянным угловым ускорениемИнерциальная система с постоянным угловым ускорением(t) Итак:

Разность фаз между перемещением и ускорением

Третий закон Ньютона и принципы его действия: Материальные точки взаимодействуют друг с другом силами, имеющими одинаковую природу, направленными вдоль прямой, соединяющей эти точки, равными по модулю и противоположными по направлению:Условия необходимые для совершения колебаний системой Закон утверждает, что силы возникают лишь попарно, причём любая сила, действующая на тело, имеет источник происхождения в виде другого тела. Иначе говоря, сила всегда есть результат взаимодействия тел. Тела действуют друг на друга с силами, равными по модулю и противоположными по направлению.Силы, возникающие при взаимодействии тел, всегда имеют одинаковую природу. Они приложены к разным телам и поэтому не могут уравновешивать друг друга. Складывать по правилам векторного сложения можно только силы, приложенные к одному телу. Существование сил, возникших самостоятельно, без взаимодействующих тел, невозможно. Справедливость третьего закона Ньютона была подтверждена многочисленными экспериментами. Этот закон справедлив как для случая, когда одно тело тянет другое, так и для случая, когда тела отталкиваются. Все тела во Вселенной взаимодействуют друг с другом, подчиняясь этому закону. Инвариантность уравнений движения относительно преобразований Галилея представляет собой математическую формулировку принципа относительности классической механики: законы дви жения одинаковы во всех системах координат, равномерно движущихся относительно друг друга. Первый постулат теории относительности согласуется с этим принципом и обобщает его на законы распространения света. Однако одновременное применение обоих постулатов находится в противоречии с преобразованиями Галилея. Самый факт инвариантности уравнений движения по отношению к преобразованиям Галилея называют иногда принципом относительности Галилея.

5.Силы в механике. Классификация сил в природе. Закон всемирного тяготения. Физический смысл гравитационной постоянной. Сила тяжести и вес тела. Упругие силы, закон Гука. Сила трения и сопротивления. Сложение сил. Классификация сил в природе.: Все многообразие встречающихся в природе взаимодействий сводится всего лишь к четырем типам. Это гравитационное электромагнитное, ядерное (или сильное) и слабое взаимодействие. В механике Ньютона  можно рассматривать только гравитационное и электромагнитное взаимодействия. В отличие от короткодействующих ядерного и слабого взаимодействия, гравитационное и электромагнитное взаимодействия – дальнодействующие: их действия проявляются на очень больших расстояниях. Закон всемирного тяготения Силу взаимного притяжения, действующую между Солнцем, планетами, кометами, звездами и другими телами во Вселенной, Ньютон назвал силой всемирного тяготения.Сила всемирного тяготения, действующая на Луну со стороны Земли, пропорциональна массе Луны (см. формулу 9.1). Очевидно, что сила всемирного тяготения, действующая со стороны Луны на Землю, пропорциональна массе Земли. Эти силы по третьему закону Ньютона равны между собой. Следовательно, сила всемирного тяготения, действующая между Луной и Землей, пропорциональна массе Земли и массе Луны, т. е. пропорциональна произведению их масс. Распространив установленные закономерности — зависимость силы тяжести от расстояния и от масс взаимодействующих тел — на взаимодействие всех тел во Вселенной, Ньютон открыл в 1682 г. закон всемирного тяготения: все тела притягиваются друг к другу, сила всемирного тяготения прямо пропорциональна произведению масс тел и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними: Инерциальная система с постоянным угловым ускорением Силы всемирного тяготения называют гравитационными силами, а коэффициент пропорциональности G в законе всемирного тяготения называют гравитационной постоянной. Численно она равна модулю силы тяготения, действующей на точечное тело единичной массы со стороны другого такого же тела, находящегося от него на единичном расстоянии.  По современным данным она равна Инерциальная система с постоянным угловым ускорением. Физический смысл гравитационной постоянной:  гравитационная постоянная численно равна модулю силы тяготения, действующей между двумя точечными телами массой по 1 кг каждое, находящимися на расстоянии 1 м друг от друга. Из этого утверждения следует, что гравитационная постоянная является просто коэффициентом для согласования размерностей. Сила тяжести и вес тела  Сила тяжести. Силой тяжести тела массой m называется сила притяжения его к Земле F=mg, g-ускорение свободного падения. Вследствие суточного вращения Земли и несферичности ее формы величина g различается от 9,78 м/с2 на экваторе до 9,83 м/с2 на полюсах. В среднем на поверхности Земли Разность фаз между перемещением и ускорениемУсловия необходимые для совершения колебаний системой=9,8 м/с2 , M и R - масса и радиус Земли. На высоте h над поверхностью Земли Инерциальная система с постоянным угловым ускорениемИнерциальная система с постоянным угловым ускорением Вес тела: Вес представляет собой силу, с которой тело действует на горизонтальную опору или на подвес. По величине вес и сила тяжести совпадают только в том случае, если опора неподвижна. Например, вес тела, находящегося в движущемся вверх с ускорением лифте, превышает его силу тяжести. Упругие силы, закон Гука   Упругие силы Электромагнитные силы в механике проявляют себя как упругие силы и силы трения. Под действием внешних сил возникают деформации (т.е. изменение размеров и формы) тел. Если после прекращения действия внешних сил восстанавливаются прежние форма и размеры тела, то деформация называется упругой. Деформация имеет упругий характер в случае, если внешняя сила не превосходит определенного значения, называемого пределом упругости.При превышении этого предела деформация становится пластичной, или неупругой, т.е. первоначальные размеры и форма тела полностью не восстанавливаются. Сила упругости, действующая на тело со стороны деформированной (сжатой или растянутой) пружины, равна по величине , k- коэффициент упругости (жесткость) пружины, x - величина деформации пружины. Закон Гука Формулировка: Сила упругости, возникающая в теле при его деформации, прямо пропорциональна величине этой деформации. Для тонкого растяжимого стержня закон Гука имеет вид:

Разность фаз между перемещением и ускорениемУсловия необходимые для совершения колебаний системой, здесь F — сила, которой растягивают (сжимают) стержень, Инерциальная система с постоянным угловым ускорением — абсолютное удлинение (сжатие) стержня, а k — коэффициент упругости (или жёсткости). Коэффициент упругости зависит как от свойств материала, так и от размеров стержня. Можно выделить зависимость от размеров стержня (площади поперечного сечения S и длины L) явно, записав коэффициент упругости как Инерциальная система с постоянным угловым ускорениемРазность фаз между перемещением и ускорением.

Величина E называется модулем упругости первого рода или модулем Юнга и является механической характеристикой материала. Если ввести относительное удлинение Условия необходимые для совершения колебаний системойИнерциальная система с постоянным угловым ускорением и нормальное напряжение в поперечном сечении Инерциальная система с постоянным угловым ускорениемРазность фаз между перемещением и ускорением, то закон Гука для относительных величин запишется как Условия необходимые для совершения колебаний системойИнерциальная система с постоянным угловым ускорением В такой форме он справедлив для любых малых объёмов материала.Также при расчёте прямых стержней применяют запись закона Гука в относительной форме Инерциальная система с постоянным угловым ускорениемРазность фаз между перемещением и ускорением Следует иметь в виду, что закон Гука выполняется только при малых деформациях. При превышении предела пропорциональности связь между напряжениями и деформациями становится нелинейной. Для многих сред закон Гука неприменим даже при малых деформациях.

Сила трения и сопротивления Сила трения. При скольжении тела действующая на него сила трения , k - коэффициент трения, N - сила реакции опоры (рис. 4 ).

Условия необходимые для совершения колебаний системой

Сила сопротивления: Силу, которая противодействует первоначальному сдвигу предмета, называют силой трения покоя. Хотя нагляднее её называть силой сопротивления. Именно сила сопротивления является необходимым условием для изменения скорости тела, т.е. для начала движения или для начала торможения. Это как необходимость воздуха для дыхания (условие необходимое, но не достаточное). В процессе движения мы толкаем Землю, а она толкает нас.Если приложенная сила не достаточно велика, то сила сопротивления её уравновешивает. Затем сила сопротивления достигает своего максимума, и тело начинает движение, т.е.F сопротивления макс. > F тр. скольжения.

Сложение сил.

6.Неинерциальне системы отсчета. Неинерциальные системы отсчета, привести примеры. Силы инерции, силы Кареолиса. Уравнения движения в неинерциальных системах отсчета. Принцип эквивалентности. Границы применимости Ньютоновской механики. Неинерциальные системы отсчета, привести примеры система отсчёта, в которой не применим первый закон Ньютона — «закон инерции», говорящий о том, что каждое тело, в отсутствие действующих на него сил, движется по прямой и с постоянной скоростью. Всякая система отсчета, движущаяся с ускорением или поворачивающаяся относительно инерциальной, является неинерциальной. Второй закон Ньютона также не выполняется в неинерциальных системах отсчёта. Для того, чтобы уравнение движения материальной точки в неинерциальной системе отсчёта по форме совпадало с уравнением второго закона Ньютона дополнительно к «обычным» силам, действующим в инерциальных системах, вводят силы инерции.

Законы Ньютона выполняются только в инерциальных системах отсчёта. Для того, чтобы найти уравнение движения в неинерциальной системе отсчёта, нужно знать законы преобразования сил и ускорений при переходе от инерциальной системы к любой неинерциальной. Примеры: СО (система отсчета), связанная с тормозящим вагоном. В которой оказывается, что тела, на которые не действуют никакие силы (стоящие пассажиры) вдруг приобретают ускорения. Еще пример: тормозящий автобус… троллейбус… трамвай… такси… 3-й пример — СО, связанная с каруселью (в ней свободные тела движутся по замкнутым кривым).

Силы инерции: переносной силой инерции, действующей на материальную точку массы m в неинерциальной системе отсчета, называется сила, равная произведению массы этой материальной точки на взятое с обратным знаком ее переносное ускорение: Инерциальная система с постоянным угловым ускорениемИнерциальная система с постоянным угловым ускорением кориолисовой силой инерции, действующей на материальную точку массы m в неинерциальной системе отсчета, называется сила, равная произведению массы этой материальной точки на взятое с обратным знаком ее кориолисово ускорение: Разность фаз между перемещением и ускорениемУсловия необходимые для совершения колебаний системой Важно заметить, что знак «минус» в формулах помещен в круглые скобки — туда, где вектор ускорения. Это сделано в качестве «профилактической меры»: уже из самих этих формул видно, что вводимые с их помощью силы инерции направлены против направления векторов тех ускорений, с которыми они связаны. Другими словами, формула 1 может служить напоминанием о том, что переносное ускорение Инерциальная система с постоянным угловым ускорениемИнерциальная система с постоянным угловым ускорением вызывается не переносной силой инерции Разность фаз между перемещением и ускорением. Аналогично, кориолисово ускорение Условия необходимые для совершения колебаний системойИнерциальная система с постоянным угловым ускорениемвызывается не кориолисовой силой инерции Инерциальная система с постоянным угловым ускорением, как это непосредственно видно из формулы 2.Если считать все разновидности подряд, то к этим двум должны быть добавлены три других, которые нам встретились выше, — это поступательная сила инерции Разность фаз между перемещением и ускорениемУсловия необходимые для совершения колебаний системой, Силой Кориолиса называется сила инерции, связанная с неинерциальной системой отсчета, которая была описана французским инженером-математиком Кориолисом в 1835 году. Кориолис показал, что при использовании традиционных Ньютоновских законов движения тел во вращающихся системах отсчета уравнения движения должны быть дополнены специальной силой инерции, которая направлена вправо по отношению к перемещению тела, если вращение системы отсчета направлено против часовой стрелки, и влево в противном случае. 

Уравнения движения в неинерциальных системах отсчета. Инерциальная система с постоянным угловым ускорением

Принцип эквивалентности —  утверждение, согласно которому поле ТЯГОТЕНИЯ в небольшой области пространства и времени (например, в замкнутой лаборатории, из которой невозможно наблюдать Вселенную) по своему проявлению тождественно ускоренной системе отсчета . Этот принцип явился краеугольным камнем общей теории ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ Эйнштейна. Границы применимости Ньютоновской механики Вследствие развития физики в начале XX века определилась область применения классической механики: ее законы выполняются для движений, скорость которых много меньше скорости света. Было установлено, что с ростом скорости масса тела возрастает. Вообще законы классической механики Ньютона справедливы для случая инерциальных систем отсчета. В случае неинерциальных систем отсчета ситуация иная. При ускоренном движении неинерциальной системы координат относительно инерциальной системы первый закон Ньютона (закон инерции) в этой системе не имеет места, – свободные тела в ней будут с течением времени менять свою скорость движения. Первое несоответствие в классической механике было выявлено, тогда когда был открыт микромир. В классической механике перемещения в пространстве и определение скорости изучались вне зависимости от того, каким образом эти перемещения реализовывались. Применительно к явлениям микромира подобная ситуация, как выявилось, невозможна принципиально. Здесь пространственно-временная локализация, лежащая в основе кинематики, возможна лишь для некоторых частных случаев, которые зависят от конкретных динамических условий движения. В макро масштабах использование кинематики вполне допустимо. Для микро масштабов, где главная роль принадлежит квантам, кинематика, изучающая движение вне зависимости от динамических условий, теряет смысл.

7.Импульс системы. Закон сохранения импульса. Механическая система и ее состояния. Внутренние и внешние силы. Замкнутая система. Импульс системы. Закон сохранения импульса. Центр масс. Центр масс системы и способы его нахождения. Уравнение движения центра масс. Реактивное движение. Уравнение Мещерского и формула Циолковского. Механическая система и ее состояния. Механика занимается изучением так называемых механических систем.

Механическая система обладает определённым числом  k степеней свободы, а её состояние описывается с помощью обобщённых координат Инерциальная система с постоянным угловым ускорением и соответствующих им обобщённых импульсов Разность фаз между перемещением и ускорением. Задача механики состоит в изучении свойств механических систем, и, в частности, в выяснении их эволюции во времени. Являясь одним из классов физических систем, механические системы по характеру взаимодействия с окружением разделяются на изолированные (замкнутые)закрытые и открытые, по принципу изменения свойств во времени — на статические и динамические.

Наиболее важными механическими системами являются: материальная точка, неголономная система, гармонический осциллятор, математический маятник, физический маятник, крутильный маятник, абсолютно твёрдое тело, деформируемое тело, абсолютно упругое тело, сплошная среда.

Внутренние и внешние силы Внутренние: силы напряжения, упругие силы (Internal force) — силы, возникающие в деформируемом упругом теле. Внешние: Внешние силы — это такие силы, которые действуют только на поверхность предмета, но не проникают внутрь его. К этим силам относятся все силы, развиваемые материальным объектом. Ну, например, нашей рукой. И происходит это по той причине, что наша рука не может проникнуть внутрь передвигаемого предмета. Конечно, мы могли бы разрезать этот предмет и добраться до его сердцевины. Но сделав эту операцию, мы создадим новые поверхности и воздействовать опять же будет только на поверхность, а не на атомы внутри предмета.  Внутренние силы — это такие силы, которые действуют сразу на все атомы передвигаемого предмета независимо от того, где они находятся: на поверхности или в середине предмета. К этим силам относятся силы инерции и силы поля: гравитационного, электрического, магнитного. И происходит это потому, что поле и носитель инерции физвакуум свободно проникают внутрь любого тела. Когда мы падаем вниз под действием гравитации, гравитационная сила действует сразу на все органы, белки, молекулы и атомы нашего тела.

Замкнутая система — это система тел, которые взаимодействуют только друг с другом. Нет внешних сил взаимодействия.В реальном мире такой системы не может быть, нет возможности убрать всякое внешнее взаимодействие. Замкнутая система тел — это физическая модель, как и материальная точка является моделью. Это модель системы тел, которые якобы взаимодействуют только друг с другом, внешние силы не берутся во внимание, ими пренебрегают. Импульс системы Векторная физическая величина, равная произведению массы тела на его скорость, называется импульсом тела: р — mv. Под импульсом системы тел понимают сумму импульсов всех тел этой системы: ∑p=p1+p2+… . Закон сохранения импульса: в замкнутой системе тел при любых процессах ее импульс остается неизменным, т.е. ∑p = const. Справедливость этого закона легко доказать, для простоты рассмотрев систему из двух тел. При взаимодействии двух тел изменяется импульс каждого из них, причем эти изменения равны соответственно Δp = F1Δt и Δр2= F2Δt.

При этом изменение полного импульса системы равно: Δр = Δр1+ Δр2=F1Δt + F2Δt = (F1+ F2) Δt. Однако, согласно третьему закону Ньютона, F1= -F2. Таким образом,  Δр = 0. Одним из важнейших следствий закона сохранения импульса является существование реактивного движения. Реактивное движение возникает в случае, когда от тела с некоторой скоростью отделяется какая-либо его часть. Центр масс/ Центр масс системы и способы его нахождения. или система материальных точек – это воображаемая точка С, положение которой характеризует распределение массы этой системы, ее радиус вектора равен: Условия необходимые для совершения колебаний системойИнерциальная система с постоянным угловым ускорением Инерциальная система с постоянным угловым ускорениемРазность фаз между перемещением и ускорением учитывая, что miυc=Pi, a : Условия необходимые для совершения колебаний системойИнерциальная система с постоянным угловым ускорениемmi•υi=P , т.е. импульс всей системы, то υc=P/m; P=mυc  т.е. импульс системы равен произведению массы системы на скорость ее центра масс. Если внешние силы отсутствуют, то система называется замкнутой. Для замкнутой системы суммарный импульс взаимодействующих тел сохраняется, т.е. не изменяется с течением времени: Инерциальная система с постоянным угловым ускорениемРазность фаз между перемещением и ускорениемPi=const (2.13) и выражает закон сохранения импульса – это фундаментальный закон природы, он является следствием определенного свойства симметрии пространства – его однородности. Однородность пространства заключается в том, что при параллельном переносе в пространстве замкнутой системы тел как целого ее физические свойства и законы движения не изменяются, иными словами, не зависят от выбора положения начала координат инерциальной системы отсчета. Реактивное движение Под реактивным понимают движение тела, возникающее при отделении некоторой его части с определенной скоростью относительно тела. При этом возникает т.н. реактивная сила, сообщающая телу ускорение.

Уравнение Мещерского — основное уравнение в механике тел переменной массы, полученное И. В. Мещерским в 1897 году для материальной точки переменной массы (состава). Уравнение обычно записывается в следующем виде:

Условия необходимые для совершения колебаний системой где:M(t) — масса материальной точки, изменяющаяся за счет обмена частицами с окружающей средой, в произвольный момент времени t;V — скорость движения материальной точки переменной массы;F— результирующая внешних сил, действующих на материальную точку переменной массы со стороны её внешнего окружения (в том числе, если такое имеет место, и со стороны среды, с которой она обменивается частицами, например электромагнитные силы — в случае массообмена с магнитной средой, сопротивление среды движению и т. п.); Инерциальная система с постоянным угловым ускорениемИнерциальная система с постоянным угловым ускорением — относительная скорость присоединяющихся частиц;  Разность фаз между перемещением и ускорениемУсловия необходимые для совершения колебаний системой — относительная скорость отделяющихся частиц;Инерциальная система с постоянным угловым ускорениемИнерциальная система с постоянным угловым ускорением -скорости массообмена присоединяющихся и отделяющихся частиц. Формула Циолковского определяет скорость, которую развивает летательный аппарат под воздействием тяги ракетного двигателя, неизменной по направлению, при отсутствии всех других сил. Эта скорость называется характеристической.Разность фаз между перемещением и ускорением, где:V— конечная (после выработки всего топлива) скорость летательного аппарата;I— удельный импульс ракетного двигателя (отношение тяги двигателя к секундному расходу массы топлива);M1 — начальная масса летательного аппарата (полезная нагрузка + конструкция аппарата + топливо);M2— конечная масса летательного аппарата (полезная нагрузка + конструкция).

8.Работа и мощность силы. Работа и мощность, единицы их измерения. Работа силы тяжести, силы упругости, силы трения. Механическая энергия системы и закон ее сохранения. Энергия. Кинетическая энергия и ее связь с работой внешних сил. Потенциальная энергия и ее связь с силой поля. Механическая энергия. Закон сохранения механической энергии.

Мощность Условия необходимые для совершения колебаний системойИнерциальная система с постоянным угловым ускорением N=const. Единица измерения мощности в СИ 1 Вт =1Джс А- работа за время t. Если мощность не постоянна, то вычисляется  средняя мощность:Инерциальная система с постоянным угловым ускорениемРазность фаз между перемещением и ускорением Мощность —  физическая величина, измеряемая отношением работы к промежутку времени, в течение которого она произведена. Мгновенная мощность: Условия необходимые для совершения колебаний системойИнерциальная система с постоянным угловым ускорением Работа силы: Инерциальная система с постоянным угловым ускорениемРазность фаз между перемещением и ускорением, F=const (и движение п прямой, в неизменном направлении) где Условия необходимые для совершения колебаний системойИнерциальная система с постоянным угловым ускорением — работа силы Инерциальная система с постоянным угловым ускорениемРазность фаз между перемещением и ускорением, Условия необходимые для совершения колебаний системойИнерциальная система с постоянным угловым ускорением – перемещение материальной точки , на которую действует сила Инерциальная система с постоянным угловым ускорениемРазность фаз между перемещением и ускорением, Условия необходимые для совершения колебаний системойИнерциальная система с постоянным угловым ускорением — угол между силой Инерциальная система с постоянным угловым ускорениемРазность фаз между перемещением и ускорением и перемещением Условия необходимые для совершения колебаний системойИнерциальная система с постоянным угловым ускорением . Чтобы найти работу не постоянной силы над точкой над точкой, которая движется по произвольной траектории, надо мысленно разбить движение на такие малые перемещения Инерциальная система с постоянным угловым ускорениемРазность фаз между перемещением и ускорением, чтобы на каждом из них с достаточной точностью можно было бы считать движение прямолинейным, а силу постоянной. Тогда Условия необходимые для совершения колебаний системойИнерциальная система с постоянным угловым ускорением Инерциальная система с постоянным угловым ускорениемРазность фаз между перемещением и ускорением, если Условия необходимые для совершения колебаний системойИнерциальная система с постоянным угловым ускорением – острый угол. Инерциальная система с постоянным угловым ускорениемРазность фаз между перемещением и ускорением, если Условия необходимые для совершения колебаний системойИнерциальная система с постоянным угловым ускорением – тупой угол. А=0, если Инерциальная система с постоянным угловым ускорениемРазность фаз между перемещением и ускорением=90гр. Единица измерения работы в СИ 1Дж=1Н*м. Работа силы тяжести, силы упругости, силы трения Вычислим работу силы тяжести отдельной материальной точки. Пусть точка М веса G переместилась по некоторой траектории L из точки М1 в точку М2. Элементарная работа на перемещении dr будет равна dA = Gxdx + Gydy + Gzdz, но при выбранном направлении осей Gx = 0, Gy = 0, Gz = –G. Полная работа силы тяжести на конечном участке траектории М1М2 будет равна А = G(z1 – z2). Работа силы тяжести материальной точки равна произведению веса на разность высот начального и конечного положений точки, причем она положительна, если конечное положение ниже начального, и отрицательна, если наоборот.

Работа силы тяжести не зависит от формы траектории, по которой точка переместилась из начального

положения в конечное. Это свойство силы тяжести оказывается характерным для широкого класса других

сил, которые именуются потенциальными или консервативными. Отметим также, что работа силы тяжести

выражается полным дифференциалом некоторой функции координат и именно поэтому не зависит от формы

траектории. Рассмотрим работу силы упругой пружины, коэффициент жесткости обозначим через с. Вычислим, какую работу произведут упругие силы при растяжении конца пружины на длину f из нерастянутого состояния. механи́ческая эне́ргия описывает сумму потенциальной и кинетической энергий, имеющихся в компонентах механической системы. Механическая энергия — это энергия, связанная с движением объекта или его положением, способность совершать механическую работу. Закон сохранения механической энергии утверждает, что если тело или система подвергается действию только консервативных сил, то полная механическая энергия этого тела или системы остаётся постоянной. В изолированной системе, где действуют только консервативные силы, полная механическая энергия сохраняется. Закон сохранения энергии для тела в верхней и нижней точках траектории записывается в виде:  Условия необходимые для совершения колебаний системой

 Энергия - скалярная физическая величина, являющаяся единой мерой различных форм движения и взаимодействия материи, мерой перехода движения материи из одних форм в другие. Введение понятия энергии удобно тем, что в случае, если физическая система является замкнутой, то её энергия сохраняется в этой системе на протяжении времени, в течение которого система будет являться замкнутой. Кинети́ческая эне́ргия — энергия механической системы, зависящая от скоростей движения её точек в выбранной системе отсчёта. Часто выделяют кинетическую энергиюпоступательного и вращательного движения. Кинетическая энергия — это энергия, которую тело имеет только при движении. Когда тело не движется, кинетическая энергия равна нулю. связь кинетической энергии с работой.  Если постоянная сила действует на тело, то оно будет двигаться в направлении силы. Тогда элементарная работа по перемещению тела из точки 1 в точку 2, будет равна произведению силы F на перемещение dr : dA = F dr,  отсюда  Инерциальная система с постоянным угловым ускорениемИнерциальная система с постоянным угловым ускорением       Разность фаз между перемещением и ускорением , Условия необходимые для совершения колебаний системойОкончательно получаем:Инерциальная система с постоянным угловым ускорением.

Следовательно, работа силы, приложенной к телу на пути r, численно равна изменению кинетической энергии этого тела: Инерциальная система с постоянным угловым ускорениемРазность фаз между перемещением и ускорением Или изменение кинетической энергии dK равно работе внешних сил: dK = dA. Работа, так же как и кинетическая энергия, измеряется в джоулях.  Потенциальная энергия Условия необходимые для совершения колебаний системойИнерциальная система с постоянным угловым ускорением — скалярная физическая величина, представляющая собой часть полной механической энергии системы, находящейся в поле консервативных сил. Зависит от положения материальных точек, составляющих систему, и характеризует работу, совершаемую полем при их перемещении. Другое определение: потенциальная энергия — это функция координат, являющаяся слагаемым в лагранжиане системы, и описывающая взаимодействие элементов системы[2]. Термин «потенциальная энергия» был введен в XIX веке шотландским инженером и физиком Уильямом Ренкином. Единицей измерения энергии в Международной системе единиц (СИ) является джоуль.

Потенциальная энергия принимается равной нулю для некоторой конфигурации тел в пространстве, выбор которой определяется удобством дальнейших вычислений. Процесс выбора данной конфигурации называется нормировкой потенциальной энергии. Корректное определение потенциальной энергии может быть дано только в поле сил, работа которых зависит только от начального и конечного положения тела, но не от траектории его перемещения. Такие силы называются консервативными (потенциальными). Также потенциальная энергия является характеристикой взаимодействия нескольких тел или тела и поля. Любая физическая система стремится к состоянию с наименьшей потенциальной энергией.

Потенциальная энергия упругой деформации характеризует взаимодействие между собой частей тела.

Связь силы поля и потенциальной энергии. Каждой точке потенциального поля сил соответствует, с одной стороны, некоторое значение силы F, действующей на тело, с другой стороны – некоторое значение потенциальной энергии U для данной конфигурации взаимодействующих тел. Следовательно, между Инерциальная система с постоянным угловым ускорениемРазность фаз между перемещением и ускорением и U должна существовать какая-то функциональная связь.

Вычислим элементарную работу dA, совершаемую силами поля при малом перемещении тела  Условия необходимые для совершения колебаний системойИнерциальная система с постоянным угловым ускорением вдоль некоторого произвольного направления S. Инерциальная система с постоянным угловым ускорениемРазность фаз между перемещением и ускорением , где Fr = F×cos a - проекция силы на направление перемещения.

Работа эта совершается за счет запаса потенциальной энергии системы и равна убыли потенциальной энергии (-dU), т.е.

dA = — dU(r) или Fr×dr = -dU. Условия необходимые для совершения колебаний системойИнерциальная система с постоянным угловым ускорением Инерциальная система с постоянным угловым ускорениемРазность фаз между перемещением и ускорением Откуда   или в векторной форме 

В нашем случае сила (векторная величина) есть градиент потенциальной энергии — величины скалярной. Знак “ – “ указывает, что вектор силы Условия необходимые для совершения колебаний системойИнерциальная система с постоянным угловым ускорением  направлен в сторону убывания потенциальной энергии U. Важное замечание: Прибавление постоянной во времени величины к потенциальной энергии не изменяет картины силового воздействия данного силового поля на данную частицу (тело) (вследствие операции дифференцирования). Следовательно: а) выбор уровня, с которого производится отсчет величины потенциальной энергии – произвольная операция, допускающая удобный выбор; б) строго определенный физический смысл имеет не фиксированное значение потенциальной энергии, а её изменение в данном процессе – приращение или убыль.

9. Момент силы и момент импульса частицы. Момент силы. Момент импульса. Пара сил. Момент пары сил. Изменение момента импульса. Закон сохранения момента импульса.  Момент силывекторная физическая величина, равная векторному произведению радиус-вектора (проведённого от оси вращения к точке приложения силы — по определению), на вектор этой силы. Характеризует вращательное действие силы на твёрдое тело. В физике момент силы можно понимать как «вращающая сила». единицей измерения момента силы является ньютон-метр. Момент силы иногда называют моментом пары сил, это понятие возникло в трудах Архимеда над рычагами.  момент силы частицы определяется как векторное произведение: Инерциальная система с постоянным угловым ускорениемРазность фаз между перемещением и ускорением где  Условия необходимые для совершения колебаний системойИнерциальная система с постоянным угловым ускорением— сила, действующая на частицу, а Инерциальная система с постоянным угловым ускорениемРазность фаз между перемещением и ускорением  — радиус-вектор частицы. Момент импульса - характеризует количество вращательного движения. Величина, зависящая от того, сколько массы вращается, как она распределена относительно оси вращения и с какой скоростью происходит вращение. Момент импульса замкнутой системы сохраняется. Для нескольких частиц момент импульса определяется как (векторная) сумма таких членов: Условия необходимые для совершения колебаний системойИнерциальная система с постоянным угловым ускорением где  Инерциальная система с постоянным угловым ускорениемРазность фаз между перемещением и ускорением, Условия необходимые для совершения колебаний системойИнерциальная система с постоянным угловым ускорением— радиус-вектор и импульс каждой частицы, входящей в систему, момент импульса которой определяется. (В пределе количество частиц может быть бесконечным, например, в случае твердого тела с непрерывно распределенной массой или вообще распределенной системы это может быть записано как Инерциальная система с постоянным угловым ускорениемРазность фаз между перемещением и ускорением  где  Условия необходимые для совершения колебаний системойИнерциальная система с постоянным угловым ускорением — импульс бесконечно малого точечного элемента системы). В системе СИ момент импульса измеряется в единицах джоуль-секунда; Дж·с. Из определения момента импульса следует его аддитивность: как, для системы частиц в частности, так и для системы, состоящей из нескольких подсистем, выполняется:Инерциальная система с постоянным угловым ускорениемРазность фаз между перемещением и ускорением Момент импульса может быть вычислен относительно любого начала отсчета (получившиеся при этом разные значения связаны очевидным образом); однако чаще всего (для удобства и определенности) его вычисляют относительно центра масс или закрепленной точки вращения твердого тела и тп). Па́ра сил — совокупность двух сил, которые приложены к одному абсолютно твёрдому телу и при этом равны по модулю и противоположны по направлению.

Момент пары сил: Пара сил представляет собой важный частный случай системы сил. Главным вектором для неё служит нулевой вектор, так что действие пары сил на тело полностью характеризуется её главным моментом, который является свободным вектором (не зависит от выбора полюса) и называется моментом пары сил. В соответствии с этим, момент пары сил не имеет точки приложения (утверждение, иногда называемое «второй теоремой Вариньона»): к каким бы частям твёрдого тела ни прикладывались силы, составляющие пару, при данных модуле и направлении момента пары двигаться оно будет одинаково. Скорость изменения момента импульса частицы относительно некоторой точки равна моменту силы относительно той же точки. Кратчайшее расстояние от точки О до линии действия силы l=r sin a называется плечом силы. Отсюда следует, что точку приложения силы (если, конечно, речь идет о твердом теле) можно сдвигать вдоль линии ??????? сохранения момента импульса: момент импульса замкнутой системы сохраняется, т. е. не изменяется с течением времени.  один из фундаментальных законов сохранения. Математически выражается через векторную сумму всех моментов импульса относительно выбранной оси для замкнутой системы тел и остается постоянной, пока на систему не воздействуют внешние силы. В соответствии с этиммомент импульса замкнутой системы в любой системе координат не изменяется со временем. Закон сохранения момента импульса есть проявление изотропности пространства относительно поворота. В упрощённом виде:Условия необходимые для совершения колебаний системойИнерциальная система с постоянным угловым ускорением , если система находится в равновесии.

10. Уравнение динамики вращательного движения твердого тела. Кинетическая энергия вращающегося тела. Момент импульса тела относительно оси. Момент инерции тела относительно оси. Теорема Штейнера. Уравнение динамики твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси. Кинетическая энергия вращающегося тела. Работа внешних сил при вращении твердого тела. Момент импульса тела относительно оси. Момент импульса твердого тела относительно оси есть сумма моментов импульса отдельных частиц, из которых состоит тело относительно оси. Учитывая, что Инерциальная система с постоянным угловым ускорениемРазность фаз между перемещением и ускорением , получим. Условия необходимые для совершения колебаний системойИнерциальная система с постоянным угловым ускорением Если сумма моментов сил, действующих на тело, вращающееся вокруг неподвижной оси, равна нулю, то момент импульса сохраняется (закон сохранения момента импульса)Инерциальная система с постоянным угловым ускорениемРазность фаз между перемещением и ускорением Производная момента импульса твердого тела по времени равна сумме моментов всех сил, действующих на тело:Условия необходимые для совершения колебаний системойИнерциальная система с постоянным угловым ускорением. V Момент инерции тела относительно оси вращения  зависит от массы тела и от распределения этой массы. Чем больше масса тела и  чем дальше она отстоит от воображаемой оси, тем большим моментом инерции обладает тело. Момент инерции элементарной (точечной) массы mi, отстоящей от оси на расстоянии ri, равен:Инерциальная система с постоянным угловым ускорениемРазность фаз между перемещением и ускорением Момент инерции всего тела относительно оси равен: Условия необходимые для совершения колебаний системойИнерциальная система с постоянным угловым ускорением или, для непрерывно распределенной массы: Инерциальная система с постоянным угловым ускорениемРазность фаз между перемещением и ускорением

 Теоре́ма Гю́йгенса — Ште́йнера, или просто теорема Штейнера (названа по имени швейцарского математика Якоба Штейнера и голландского математика, физика и астронома Христиана Гюйгенса): момент инерции J тела относительно произвольной оси равен сумме момента инерции этого тела Условия необходимые для совершения колебаний системойИнерциальная система с постоянным угловым ускорением относительно параллельной ей оси, проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела m на квадрат расстояния d между осями:Инерциальная система с постоянным угловым ускорениемРазность фаз между перемещением и ускорением где Условия необходимые для совершения колебаний системойИнерциальная система с постоянным угловым ускорением — известный момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс тела, J — искомый момент инерции относительно параллельной оси,

m — масса тела, d— расстояние между указанными осями. Уравнение динамики твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси: суммарный момент сил, действующих на тело, равен произведению момента инерции тела на угловое ускорение: Инерциальная система с постоянным угловым ускорениемРазность фаз между перемещением и ускорением Учитывая, что момент импульса твердого тела Условия необходимые для совершения колебаний системойИнерциальная система с постоянным угловым ускорением , уравнение динамики твердого тела можно представить в виде Инерциальная система с постоянным угловым ускорениемРазность фаз между перемещением и ускорением    Кинетическая энергия вращающегося тела Кинетическая энергия – величина аддитивная. Поэтому кинетическая энергия тела, движущегося произвольным образом, равна сумме кинетических энергий всех n материальных точек, на которые это тело можно мысленно разбить: Если тело вращается вокруг неподвижной оси z с угловой скоростью Условия необходимые для совершения колебаний системойИнерциальная система с постоянным угловым ускорением, то линейная скорость i-й точки  , Ri – расстояние до оси вращения. Следовательно,Инерциальная система с постоянным угловым ускорениемРазность фаз между перемещением и ускорением       Сопоставив 2 формулы, можно увидеть, что момент инерции тела I является мерой инертности при вращательном движении, так же как масса m – мера инерции при поступательном движении.  В общем случае движение твердого тела можно представить в виде суммы двух движений – поступательного со скоростью  vc  и вращательного с угловой скоростью ω вокруг мгновенной оси, проходящей через центр инерции. Тогда полная кинетическая энергия этого телат Условия необходимые для совершения колебаний системойИнерциальная система с постоянным угловым ускорением Здесь Ic – момент инерции относительно мгновенной оси вращения, проходящей через центр инерции.

Работа внешних сил при вращении твердого тела

Инерциальная система с постоянным угловым ускорениемРассмотрим действие внешней силы Разность фаз между перемещением и ускорениемУсловия необходимые для совершения колебаний системой, приложенной к точке массой Инерциальная система с постоянным угловым ускорениемИнерциальная система с постоянным угловым ускорением. За время Разность фаз между перемещением и ускорениемУсловия необходимые для совершения колебаний системой элементарная масса  Инерциальная система с постоянным угловым ускорениемИнерциальная система с постоянным угловым ускорением проходит путь Разность фаз между перемещением и ускорениемУсловия необходимые для совершения колебаний системой  Работа силы Инерциальная система с постоянным угловым ускорениемИнерциальная система с постоянным угловым ускорением на этом пути определяется проекцией силы на направление перемещения, которая очевидно, равна тангенциальной составляющей Разность фаз между перемещением и ускорениемУсловия необходимые для совершения колебаний системой силы. Инерциальная система с постоянным угловым ускорениемИнерциальная система с постоянным угловым ускорением Но Разность фаз между перемещением и ускорениемУсловия необходимые для совершения колебаний системой равна модулю момента Инерциальная система с постоянным угловым ускорениемИнерциальная система с постоянным угловым ускорением силы Разность фаз между перемещением и ускорениемУсловия необходимые для совершения колебаний системой  относительно оси вращения. Работа Инерциальная система с постоянным угловым ускорениемИнерциальная система с постоянным угловым ускорением , и будет положительна, если Разность фаз между перемещением и ускорениемУсловия необходимые для совершения колебаний системой имеет такое же направление, как и Инерциальная система с постоянным угловым ускорениемИнерциальная система с постоянным угловым ускорением отрицательное, если направление векторов Разность фаз между перемещением и ускорениемУсловия необходимые для совершения колебаний системой  и  Инерциальная система с постоянным угловым ускорениемИнерциальная система с постоянным угловым ускорением  противоположны. С учетом, что Разность фаз между перемещением и ускорениемУсловия необходимые для совершения колебаний системой  Инерциальная система с постоянным угловым ускорениемИнерциальная система с постоянным угловым ускорением

Работа всех сил, приложенных к телу Разность фаз между перемещением и ускорениемУсловия необходимые для совершения колебаний системой Полная работа Инерциальная система с постоянным угловым ускорениемИнерциальная система с постоянным угловым ускорением

11. Свободное вращение твердого тела. Момент инерции сложных тел. Понятие о степени свободы твердых тел. Вращение тела относительно свободной оси, относительно указанной точки. Гироскопический эффект. Прецессия гироскопа.

Момент инерции сложных тел Чайника -I= Разность фаз между перемещением и ускорениемУсловия необходимые для совершения колебаний системой Полый цилиндр Инерциальная система с постоянным угловым ускорениемИнерциальная система с постоянным угловым ускорением Пустой цилиндр Разность фаз между перемещением и ускорениемУсловия необходимые для совершения колебаний системой Половина шара заполненная Инерциальная система с постоянным угловым ускорениемИнерциальная система с постоянным угловым ускорением Большая половина шара заполненная Разность фаз между перемещением и ускорениемУсловия необходимые для совершения колебаний системой Труба вращающаяся в центре Инерциальная система с постоянным угловым ускорениемИнерциальная система с постоянным угловым ускорением Труба, вращающая с края Разность фаз между перемещением и ускорениемУсловия необходимые для совершения колебаний системой Понятие о степени свободы твердых тел Числом степеней свободы твердого тела называется число независимых параметров, которые однозначно определяют положение тела в пространстве относительно рассматриваемой системы отсчета. Движение твердого тела во многом зависит от числа его степеней свободы. Свободное твёрдое тело в общем случае имеет 6 степеней свободы. Действительно, положение тела в пространстве относительно какой-либо системы отсчета, определяется заданием трех его точек, не  лежащие на одной прямой, и расстояния между точками в твердом теле остаются неизменными при любых его движениях. Согласно выше сказанному, число степеней свободы должно быть  равно  шести. Вращением твердого тела вокруг неподвижной оси называется такое движение, при котором все его точки, лежащие на некоторой прямой, называемой осью вращения, все время остаются неподвижными. Рассмотрим вращение твердого тела (рис.) вокруг оси, проходящей через две неподвижные точки O  и Инерциальная система с постоянным угловым ускорениемИнерциальная система с постоянным угловым ускорением. Проведем через ось Разность фаз между перемещением и ускорениемУсловия необходимые для совершения колебаний системой  неподвижную полуплоскость   и движущуюся M вместе с телом полуплоскость N. Инерциальная система с постоянным угловым ускорениемВращение тела будет определяться величиной двугранного угла Инерциальная система с постоянным угловым ускорениемРазность фаз между перемещением и ускорением  между по-луплоскостями M  и N. Угол  Условия необходимые для совершения колебаний системойИнерциальная система с постоянным угловым ускорением называется углом поворота. Условимся считать за положительное направление вращения тот случай, когда, смотря с заданного направления оси вращения, увеличение угла поворота наблюдается в сторону, противоположную движению часовой стрелки. При вращении угол поворота  Инерциальная система с постоянным угловым ускорениемРазность фаз между перемещением и ускорением  изменяется в зависимости от времени. Равенство: Условия необходимые для совершения колебаний системойИнерциальная система с постоянным угловым ускорением является уравнением вращения тела вокруг неподвижной оси. Оно позволяет определить положение тела в любой момент времени. Угол  Инерциальная система с постоянным угловым ускорениемРазность фаз между перемещением и ускорением в равенстве выражается в радианах Вращение тела относительно указаной точки Название такого вида движения довольно точно его определяет. Часто это движение  называют сферическим движением потому, что все точки тела движутся по сферическим поверхностям.

Гироскопический эффект – это удержание (устойчивость) оси вращения объекта в пространстве. Этот эффект зависит от массы объекта, угловой скорости и от распределения моментов инерции. Если моменты инерции распределены немного неравномерно, то от этого будут возникать эффекты прецессии и нутации. Если моменты инерции распределены неравномерно, при этом ещё масса и угловая скорость объекта небольшие, тогда при эффекте прецессии ось объекта сначала описывает небольшую окружность, диаметр который всё время увеличивается. Затем ось объекта сама начинается вращаться в произвольных направлениях (кувыркаться). Прецессия гироскопа называется движение по окружности конца оси гироскопа относительно некоторой оси, сориентированной вдоль вектора внешней силы, происходящее под действием этой силы Наблюдать прецессию достаточно просто. Нужно запустить волчок и подождать, пока он начнёт замедляться. Первоначально ось вращения волчка вертикальна. Затем его верхняя точка постепенно опускается и движется по расходящейся спирали. Это и есть прецессия оси волчка. Главное свойство прецессии — безынерционность: как только сила, вызывающая прецессию волчка, пропадёт, прецессия прекратится, а волчок займёт неподвижное положение в пространстве. В примере с волчком этого не произойдет, поскольку в нём вызывающая прецессию сила — гравитация Земли — действует постоянно. Можно получить эффект прецессии, не дожидаясь замедления вращения волчка: толкните его ось (приложите силу) — начнётся прецессия. С прецессией напрямую связан другой эффект, показанный на иллюстрации ниже — это нутация — колебательные движения оси прецессирующего тела. Скорость прецессии и амплитуда нутации связаны со скоростью вращения тела (изменяя параметры прецессии и нутации в случае, если есть возможность приложить силу к оси вращающегося тела, можно изменить скорость его вращения).

12. Свободные гармонические колебания. Колебательное движение, условия необходимые для совершения колебаний. Уравнение гармонического колебания. Амплитуда, частота, период, фаза колебаний. Скорость и ускорение материальной точки при гармонических колебаниях. Дифференциальное уравнение гармонических колебаний. Колебательное движение, условия необходимые для совершения колебаний. вид неравномерного движения —колебательное. Колебательные движения широко распространены в окружающей нас жизни. Примерами колебаний могут служить: движение иглы швейной машины, качелей, маятника часов, вагона на рессорах и многих других тел. Колебания бывают механические, электромагнитные, химические, термодинамические и различные другие. Несмотря на такое разнообразие, все они имеют между собой много общего и поэтому описываются одними и теми же уравнениями. Свободными колебаниями называются колебания, происходящие благодаря начальному запасу энергии, приданному колеблющемуся телу. Чтобы тело совершало свободные колебания, необходимо вывести его из состояния равновесия. Уравнение гармонического колебания устанавливает зависимость координаты тела от времени Условия необходимые для совершения колебаний системойИнерциальная система с постоянным угловым ускорением Инерциальная система с постоянным угловым ускорениемРазность фаз между перемещением и ускорением, x-координата колеблющегося тела, Условия необходимые для совершения колебаний системойИнерциальная система с постоянным угловым ускорением)-амплитуда колебания, -циклическая частота, t-время, Инерциальная система с постоянным угловым ускорениемРазность фаз между перемещением и ускорением-начальная фаза, Условия необходимые для совершения колебаний системойИнерциальная система с постоянным угловым ускорением=1м, Инерциальная система с постоянным угловым ускорениемРазность фаз между перемещением и ускорением=1м, Условия необходимые для совершения колебаний системойИнерциальная система с постоянным угловым ускорением, Инерциальная система с постоянным угловым ускорениемРазность фаз между перемещением и ускорением=1c, Условия необходимые для совершения колебаний системойИнерциальная система с постоянным угловым ускорением График косинуса в начальный момент имеет максимальное значение, а график синуса имеет в начальный момент нулевое значение. Если колебание начинаем исследовать из положения равновесия, то колебание будет повторять синусоиду. Если колебание начинаем рассматривать из положения максимального отклонения, то колебание опишет косинус. Или такое колебание можно описать формулой синуса с начальной фазой Инерциальная система с постоянным угловым ускорениемРазность фаз между перемещением и ускорением Амплитуда, частота, период, фаза колебаний Амплитуда — максимальное значение смещения или изменения переменной величины от среднего значения приколебательном или волновом движении. Неотрицательная скалярная величина, размерность которой совпадает с размерностью определяемой физической величины. Амплитуда — модуль максимального отклонения тела от положения равновесия. Амплитуда колебаний измеряется в единицах длины — метрах, сантиметрах и т. д. Чaстота́ — физическая величина, характеристика периодического процесса, равна количеству повторений или возникновения событий (процессов) в единицу времени. Рассчитывается, как отношение количества повторений или возникновения событий (процессов) к промежутку времени, за которое они совершены]. Стандартные обозначения в формулах — ν, f или F. Единицей измерения частоты  является герц (русское обозначение: Гц; международное: Hz), названный в честь немецкого физика Генриха Герца. Частота обратно пропорциональна периоду колебаний: f = 1/T. Условия необходимые для совершения колебаний системойИнерциальная система с постоянным угловым ускорением Размерность Инерциальная система с постоянным угловым ускорениемРазность фаз между перемещением и ускорением Единица измерения Гц. Период колеба́ний — наименьший промежуток времени, за который осциллятор совершает одно полное колебание (то есть возвращается в то же состояние[1], в котором он находился в первоначальный момент, выбранный произвольно). Обозначения: обычное стандартное обозначение периода колебаний: Т  Единицы измерения: секунда (с) Период колебаний связан соотношением взаимной обратности с  частотой: Условия необходимые для совершения колебаний системойИнерциальная система с постоянным угловым ускорением, Инерциальная система с постоянным угловым ускорениемРазность фаз между перемещением и ускорением Для волновых процессов период связан кроме того очевидным образом с длиной волны Условия необходимые для совершения колебаний системойИнерциальная система с постоянным угловым ускорением, Инерциальная система с постоянным угловым ускорениемРазность фаз между перемещением и ускорением, Условия необходимые для совершения колебаний системойИнерциальная система с постоянным угловым ускорением где Инерциальная система с постоянным угловым ускорениемРазность фаз между перемещением и ускорением - скорость распространения волны (точнее - фазовая скорость). Фаза колебаний — это величина, которая определяет положение колебательной системы в любой момент времени. Обозначается φ. Измеряется в радианах.Если колебания происходят по закону синуса и косинуса, т. е. при гармонических колебаниях, то фаза колебаний является аргументом функции cos (ωt +φo), где ω — циклическая частота колебаний, t — время, φo — начальная фаза колебаний, т. е. фаза в начальный момент времени. Скорость и ускорение материальной точки при гармонических колебаниях Скорость гармонического колебания Условия необходимые для совершения колебаний системой Ускорение колеблющейся точки Инерциальная система с постоянным угловым ускорением

Уравнение гармонических колебаний можно записать в виде: x = A*sin(wt + f0), где x - смещение точки от положения равновесия,A - амплитуда колебаний, (wt+f0) - фаза колебаний, f0 - начальная фаза, w - частота, t - время.

13.Пружинный, математический и физический маятник. Квазиупругая сила. Период колебаний пружинного, математического и физического маятников. Кинетическая и потенциальная энергия колебательной системы. Закон сохранения при колебательном движении. КВАЗИУПРУГАЯ СИЛА - направленная к центру О сила. модуль к-рой пропорционален расстоянию r от центра О до точки приложения силы (F=-cr), где с - постоянный коэф., численно равный силе, действующей на единице расстояния. К. с. является силой центральной и потенциальной с силовой ф-цией U=-0,5cr2. Примерами К. с. служат силы упругости, возникающие при малых деформациях упругих тел (отсюда и сам термин «К. с.»). Приближённо К. с. можно также считать касательную составляющую силы тяжести, действующей на матем. маятник при малых его отклонениях от вертикали. Для материальной точки, находящейся под действием К. с., центр О является положением её устойчивого равновесия. Выведенная из этого положения точка будет в зависимости от нач. условий или совершать около О прямолинейные гармонич. колебания, или описывать эллипс (в частности, окружность)

Колебания пружинного маятника В вертикальном положении на груз на пружине действуют сила тяжести и сила упругости пружины. Под действием силы тяжести пружина растягивается на х1, а затем мы отклоняем его от этого положения на х.

Период колебаний Инерциальная система с постоянным угловым ускорениемРазность фаз между перемещением и ускорением  или Условия необходимые для совершения колебаний системойИнерциальная система с постоянным угловым ускорением  (формула Гюйгенса). Математи́ческий ма́ятник — осциллятор, представляющий собой механическую систему, состоящую из материальной точки, находящейся на невесомой нерастяжимой нити или на невесомом стержне в однородном поле сил тяготения[1]Период малых собственных колебаний математического маятника длины L неподвижно подвешенного в однородном поле тяжести с ускорением свободного падения g равен Инерциальная система с постоянным угловым ускорениемРазность фаз между перемещением и ускорением и не зависит  от амплитуды колебаний и массы маятника. Период колебаний физического маятника Условия необходимые для совершения колебаний системой Период малых колебаний физического маятника Если амплитуда колебаний Инерциальная система с постоянным угловым ускорением мала, то корень в знаменателе эллиптического интеграла приближенно равен единице. Такой интеграл легко берется, и получается хорошо известная формула малых колебаний:Инерциальная система с постоянным угловым ускорением.

Кинети́ческая эне́ргия (Разность фаз между перемещением и ускорениемУсловия необходимые для совершения колебаний системой): В колебаниях любых систем происходит непрерывное превращение кинетической энергии в потенциальную и обратно. Кинетическая энергия системы, совершающей гармонические колебания, равна:Инерциальная система с постоянным угловым ускорениемИнерциальная система с постоянным угловым ускорением  ,           

где скорость изменяется по гармоническому закону: Разность фаз между перемещением и ускорениемУсловия необходимые для совершения колебаний системой После подстановки, имеем:Инерциальная система с постоянным угловым ускорениемИнерциальная система с постоянным угловым ускорением  Если учесть, что Разность фаз между перемещением и ускорениемУсловия необходимые для совершения колебаний системой       и   ,  кинетическая энергиябудет равна: Инерциальная система с постоянным угловым ускорениемИнерциальная система с постоянным угловым ускорением Согласно формулам приведения: Разность фаз между перемещением и ускорениемУсловия необходимые для совершения колебаний системой , получим Инерциальная система с постоянным угловым ускорениемИнерциальная система с постоянным угловым ускорением потенциальная энергия  (Разность фаз между перемещением и ускорениемУсловия необходимые для совершения колебаний системой); Любая физическая система совершает гармонические колебания под действием квазиупругой силы, потенциальную энергию можно найти по формуле потенциальной энергии упруго-деформированного тела:Инерциальная система с постоянным угловым ускорениемИнерциальная система с постоянным угловым ускорением т.к. Разность фаз между перемещением и ускорениемУсловия необходимые для совершения колебаний системой  , то подставляя, получаем:  Т.к. Инерциальная система с постоянным угловым ускорениемИнерциальная система с постоянным угловым ускорением   , тоРазность фаз между перемещением и ускорениемУсловия необходимые для совершения колебаний системой, тогда Инерциальная система с постоянным угловым ускорениемИнерциальная система с постоянным угловым ускорением

 Если учесть, что   Разность фаз между перемещением и ускорениемУсловия необходимые для совершения колебаний системой  и       ,  потенциальная энергия будет равна:Инерциальная система с постоянным угловым ускорениемИнерциальная система с постоянным угловым ускорением 

   Разность фаз между перемещением и ускорениемУсловия необходимые для совершения колебаний системой

14. Затухающие колебания. Затухающие колебания. Дифференцированное уравнение затухающих колебаний и его решение. Период, декремент затухания, добротность колебания. Затухающие колебания — колебания, энергия которых уменьшается с течением времени. Бесконечно длящийся процесс вида Инерциальная система с постоянным угловым ускорением в природе невозможен. Свободные колебания любого осциллятора рано или поздно затухают и прекращаются. Поэтому на практике обычно имеют дело с затухающими колебаниями. Они характеризуются тем, что амплитуда колебаний A является убывающей функцией. Обычно затухание происходит под действием сил сопротивления среды, наиболее часто выражаемых линейной зависимостью от скорости колебаний Инерциальная система с постоянным угловым ускорением или её квадрата. Дифференцированное уравнение затухающих колебаний и его решение

 

Разность фаз между перемещением и ускорением

Период, декремент затухания, добротность колебания. Период затухающих колебаний Условия необходимые для совершения колебаний системойИнерциальная система с постоянным угловым ускорением

 .Логарифмический декремент затухания Инерциальная система с постоянным угловым ускорениемРазность фаз между перемещением и ускорением , подставим A(t) = A0-βt. Условия необходимые для совершения колебаний системойИнерциальная система с постоянным угловым ускорением=Инерциальная система с постоянным угловым ускорениемРазность фаз между перемещением и ускорением Условия необходимые для совершения колебаний системойИнерциальная система с постоянным угловым ускорением Добро́тность — свойство колебательной системы, определяющее полосу резонанса и показывающее, во сколько раз запасы энергии в системе больше, чем потери энергии за один период колебаний.

Добротность обратно пропорциональна скорости затухания собственных колебаний в системе. То есть, чем выше добротность колебательной системы, тем меньше потери энергии за каждый период и тем медленнее затухают колебания.

Общая формула для добротности любой колебательной системы: Инерциальная система с постоянным угловым ускорениемРазность фаз между перемещением и ускорением где: Условия необходимые для совершения колебаний системойИнерциальная система с постоянным угловым ускорением — резонансная частота колебаний W — энергия, запасённая в колебательной системе  Инерциальная система с постоянным угловым ускорениемРазность фаз между перемещением и ускорением— рассеиваемая мощность.

15. Вынужденные колебания. Вынужденные колебания. Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний и его решение. Амплитуда и фаза вынужденных колебаний. Явление резонанса. Резонансные кривые. Вынужденные колебания Колебания, совершающиеся под воздействием внешней периодической силы, называются вынужденными.В этом случае внешняя сила совершает положительную работу и обеспечивает приток энергии к колебательной системе. Она не дает колебаниям затухать, несмотря на действие сил трения.Периодическая внешняя сила может изменяться во времени по различным законам. Особый интерес представляет случай, когда внешняя сила, изменяющаяся по гармоническому закону с частотой ω, воздействует на колебательную систему, способную совершать собственные колебания на некоторой частоте ω0.Если свободные колебания происходят на частоте ω0, которая определяется параметрами системы, то установившиеся вынужденные колебания всегда происходят начастоте ω внешней силы. Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний и его решение Колебания возникающие под действием внешней периодически изменяющейся силы называются вынужденными колебаниями. Механическoе: Обознач м:b=h/2m-коэффициент затухания ; w02=k/m-собственная частота свободных колебаний.f0=F0/m x¢¢+2bх¢+w02х=f0coswt-неоднородное линейное уравнение 2-го порядка



Решение: Условия необходимые для совершения колебаний системойИнерциальная система с постоянным угловым ускорением В случае вынужденных колебаний кроме двух названных сил — упругой и силы сопротивления, на систему действует ещё одна сила: F = F0Coswt.Инерциальная система с постоянным угловым ускорением — дифференциальное уравнение вынужденных колебаний пружинного маятника. Это уравнение движения принято записывать так:Амплитуда и фаза вынужденных колебаний. Явление резонанса. Резонансные кривые Амплитуда вынужденных колебаний прямо пропорциональна амплитуде возмущающего усилия F0.

Резона́нс — явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний, которое наступает при приближении частоты внешнего воздействия к некоторым значениям (резонансным частотам), определяемым свойствами системы. Увеличение амплитуды — это лишь следствие резонанса, а причина — совпадение внешней (возбуждающей) частоты с внутренней (собственной) частотой колебательной системы. При помощи явления резонанса можно выделить и/или усилить даже весьма слабые периодические колебания. Резонанс — явление, заключающееся в том, что при некоторой частоте вынуждающей силы колебательная система оказывается особенно отзывчивой на действие этой силы. Степень отзывчивости в теории колебаний описывается величиной, называемой добротность. Явление резонанса впервые было описано Галилео Галилеем в 1602 г в работах, посвященных исследованию маятников и музыкальных струн.

Зависимость амплитуды х стационарных вынужденных колебаний от частоты pвынуждающей силы при постоянной её амплитуде наз. резонансной кривой (рис. 2). В линейном колебат. контуре резонансные кривые, соответствующие различным F, подобны, а фазово-частотная характеристика f(p) не зависит от амплитуды силы

Разность фаз между перемещением и ускорением

16. Сложение гармонических колебаний. Сложение гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты. Сложение колебаний одного направления с разными частотами, биение. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний. Фигуры Лиссажу. Сложение гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты При наложении двух гармонических колебаний, происходящих в одном направлении с одинаковой частотой, возникает гармоническое колебание с той же частотой, а его амплитуда зависит от амплитуд и начальных фаз отдельных колебаний. Результирующее отклонение в каждый момент времени равно алгебраической сумме составляющих отклонений. Колеблющееся тело может принимать участие в нескольких колебательных процессах, тогда следует найти результирующее колебание, другими словами, колебания необходимо сложить. В данном разделе будем складывать гармонические колебания одного направления и одинаковой частоты  Условия необходимые для совершения колебаний системой  применяя метод вращающегося вектора амплитуды, построим графически векторные диаграммы этих колебаний (рис. 1). Tax как векторы A1 и A2 вращаются с одинаковой угловой скоростью ω0, то разность фаз (φ2 - φ1) между ними будет оставаться постоянной. Значит, уравнение результирующего колебания будет Инерциальная система с постоянным угловым ускорением В формуле (1) амплитуда А и начальная фаза φ соответственно определяются выражениями Инерциальная система с постоянным угловым ускорением  Разность фаз между перемещением и ускорением  Значит, тело, участвуя в двух гармонических колебаниях одного направления и одинаковой частоты, совершает при этом также гармоническое колебание в том же направлении и с той же частотой, что и складываемые колебания. Амплитуда результирующего колебания зависит от разности фаз (φ2 - φ1) складываемых колебаний. Условия необходимые для совершения колебаний системой Сложение колебаний одного направления с разными частотами, биение. При сложении двух гармонических колебаний разной частоты, происходящих в одном направлении, возникает негармоническое колебание Результирующее отклонение в каждый момент времени также равно алгебраической сумме отклонений составляющих колебаний.  С другой стороны, любые негармонические колебания можно рассматривать как результирующее ряда гармонических колебаний и разложить его на эти составляющие. Соответствующий математический прием носит название анализа Фурье. При упрощающем предположении Ym1 = Ym2 и φ01 = φ02 в результате сложения двух колебаний с близкими частотами возникают биения. Биение — явление, возникающее при наложении двух периодических колебаний, например, гармонических, близких по частоте, выражающееся в периодическом уменьшении и увеличении амплитуды суммарного сигнала.Частота изменения амплитуды суммарного сигнала равна разности частот исходных сигналов. Биения возникают от того, что один из двух сигналов линейно во времени отстаёт от другого по фазе, и, в те моменты, когда колебания происходят синфазно, суммарный сигнал оказывается максимален, а в те моменты, когда два сигнала оказываются в противофазе, они взаимно гасят друг друга. Эти моменты периодически сменяют друг друга по мере того, как нарастает отставание. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний. Найдем результат сложения двух гармонических колебаний одинаковой частоты ω, которые происходят во взаимно перпендикулярных направлениях вдоль осей х и у. Начало отсчета для простоты выберем так, чтобы начальная фаза первого колебания была равна нулю, и запишем это в виде Инерциальная система с постоянным угловым ускорением  где α — разность фаз обоих колебаний, А и В равны амплитудам складываемых колебаний. Уравнение траектории результирующего колебания определим исключением из формул времени t. Записывая складываемые колебания как  Инерциальная система с постоянным угловым ускорением  Разность фаз между перемещением и ускорением  и заменяя во втором/уравнении Условия необходимые для совершения колебаний системой на Инерциальная система с постоянным угловым ускорением и Инерциальная система с постоянным угловым ускорением на Разность фаз между перемещением и ускорением , найдем после несложных преобразований уравнение эллипса, у которого оси ориентированы произвольно относительно координатных/осей: Условия необходимые для совершения колебаний системой  Фигу́ры Лиссажу́ — замкнутые траектории, прочерчиваемые точкой, совершающей одновременно два гармонических колебания в в двух взаимно перпендикулярных направлениях. Впервые изучены французским учёным Жюлем Антуаном Лиссажу.

17. Механика жидкости. Понятие потока, трубки тока, плоскости потока, стационарное течение идеальной жидкости. Уравнения неразрывности и Бернулли и Стокса. Уравнение Ньютона. Подъемная сила. Поток жидкости представляет собой совокупность элементарных струек жидкости. По этой причине основные кинематические характеристики потока во многом совпадают по своему смыслу с аналогичными характеристиками для элементарной струйки жидкости. Тем не менее, различия всё же имеются. Так в отличие от элементарной струйки, которая отделена от остальной жидкости поверхностью трубки тока, образованной линиями тока, поток жидкости имеет реальные границы в виде твёрдой среды, газообразной или жидкой сред.

Инерциальная система с постоянным угловым ускорением Поэтому живое сечение потока — криволинейная плоскость (рис. линия I—I) В виду незначительного расхождения векторов скорости в гидродинамике за живое сечение принимается плоскость, расположенная перпендикулярно скорости движения жидкости в средней точке потока. Стационарное течение идеальной жидкости.

Течение жидкости представляет собой поле скоростей, изображенное с помощью линий тока.  Если поле скоростей, то есть  форма и расположение соответствующие ему линии тока не меняются с течением времени, то движение жидкости называется стационарным или установившимся.

Уравнение неразрывности потока отражает закон сохранения массы: количество втекающей жидкости равно количеству вытекающей. Например, на рис. 10 расходы во входном и выходном сечениях напорной трубы равны:

q1 = q2.

Инерциальная система с постоянным угловым ускорениемС учётом, что q = Vw, получим уравнение неразрывности потока: Vw1 = Vw2 . Если отсюда выразим скорость для выходного сечения V2 = Vw/w2 , то легко заметить, что она увеличивается обратно пропорционально площади живого сечения потока. Такая обратная зависимость между скоростью и площадью является важным следствием уравнения неразрывности и применяется в технике, например, при тушении пожара для получения сильной и дальнобойной струи воды. Бернулли уравнение, основное уравнение гидродинамики, связывающее (для установившегося течения) скорость текущей жидкости v, давление в ней р и высоту h расположения малого объёма жидкости над плоскостью отсчёта. Б. у. было выведено Д. Бернулли в 1738 для струйки идеальной несжимаемой жидкости постоянной плотности r, находящейся под действием только сил тяжести. В этом случае Б. у. имеет вид: v2/2 + plr + gh = const, где g ускорение силы тяжести. Если это уравнение умножить на r, то 1-й член будет представлять собой кинетическую энергию единицы объёма жидкости, а др. 2 члена — его потенциальную энергию, часть которой обусловлена силой тяжести (последний член уравнения), а др. часть — давлением p. Б. у. в такой форме выражает закон сохранения энергии. Если вдоль струйки жидкости энергия одного вида, например кинетическая, увеличивается, то потенциальная энергия на столько же уменьшается. Поэтому, например, при сужении потока, текущего по трубопроводу, когда скорость потока увеличивается (т.к. через меньшее сечение за то же время проходит такое же количество жидкости, как и через большее сечение), давление соответственно в нём уменьшается (на этом основан принцип работы расходомера Вентури). Из Б. у. вытекает ряд важных следствий. Например, при истечении жидкости из открытого сосуда под действием силы тяжести (рис. 1) из Б. у. следует: v2/2g = h   или Разность фаз между перемещением и ускорениемУсловия необходимые для совершения колебаний системой т. е. скорость жидкости в выходном отверстии такова же, как при свободном падении частиц жидкости с высоты h Навье — Стокса уравнения, дифференциальные уравнения движения вязкой жидкости (газа). Названы по имени Л. Навье и Дж. Стокса. Для несжимаемой (плотность r = const) и ненагреваемой (температура Т = const) жидкости Н. — С. у. в проекциях на оси прямоугольной декартовой системы координат (система трёх уравнений) имеют вид Инерциальная система с постоянным угловым ускорениемИнерциальная система с постоянным угловым ускорением

Здесь t — время, xуz — координаты жидкой частицы, vxvyvz — проекции её скорости, XYZ — проекции объёмной силы, p — давление, v = m/r — кинематический коэффициент вязкости (m — динамический коэффициент вязкости),Разность фаз между перемещением и ускорениемУсловия необходимые для совершения колебаний системой Два других уравнения получаются заменой x на уу на z и z на x. Н. — С. у. служат для определения vxvy,vzр как функций xуzt. Чтобы замкнуть систему, к уравнениям присоединяют уравнение неразрывности, имеющее для несжимаемой жидкости вид: Инерциальная система с постоянным угловым ускорениемИнерциальная система с постоянным угловым ускорением Для интегрирования уравнений требуется задать начальные (если движение не является стационарным) и граничные условия, которыми для вязкой жидкости являются условия прилипания к твёрдым стендам. Нью́тоновская жи́дкость (названная так в честь Исаака Ньютона) — вязкая жидкость, подчиняющаяся в своём течении закону вязкого трения Ньютона, то есть касательное напряжение и градиент скорости в такой жидкости линейно зависимы. Коэффициент пропорциональности между этими величинами известен как вязкость. Простое уравнение, описывающее силы вязкости в ньютоновской жидкости, во многом определяющие ее поведение, основано на сдвиговом течении: Разность фаз между перемещением и ускорениемУсловия необходимые для совершения колебаний системой где: Инерциальная система с постоянным угловым ускорениемИнерциальная система с постоянным угловым ускорением — касательное напряжение, вызываемое жидкостью, Па; Разность фаз между перемещением и ускорениемУсловия необходимые для совершения колебаний системой — динамический коэффициент вязкости — коэффициент пропорциональности, Па·с; Инерциальная система с постоянным угловым ускорениемИнерциальная система с постоянным угловым ускорением — производная скорости в направлении, перпендикулярном направлению сдвига, с−1. Это уравнение обычно используют при течении жидкости в одном направлении, когда вектор скорости течения можно считать сонаправленным (параллельным) во всех точках рассматриваемого объёма жидкости. Подъёмная сила, составляющая полной силы давления жидкой или газообразной среды на движущееся в ней тело, направленная перпендикулярно к скорости тела (к скорости центра тяжести тела, если оно движется непоступательно). Возникает П. с. вследствие несимметрии обтекания тела средой. Например, при обтекании крыла самолёта частицы среды, обтекающие нижнюю поверхность, проходят за тот же промежуток времени меньший путь, чем частицы, обтекающие верхнюю, более выпуклую поверхность и, следовательно, имеют меньшую скорость. Но, согласно Бернулли уравнению, там, где скорость частиц меньше, давление среды больше и наоборот. В результате давление среды на нижнюю поверхность крыла будет больше, чем на верхнюю, что и приводит к появлению П. с.

18. Элементы специальной теории относительности (СТО). Постулаты СТО, относительность понятия одновременности. Преобразования Лоренца. Следствия из преобразований Лоренца: изменение длин промежутков времени, закон сложения скоростей.

Постулаты СТО Постулат 1 (принцип относительности Эйнштейна). Любое физическое явление протекает одинаково во всех инерциальных системах отсчёта. Это означает, что форма зависимости физических законов от пространственно-временных координат должна быть одинаковой во всех ИСО, то есть законы инвариантны относительно переходов между ИСО. Принцип относительности устанавливает равноправие всех ИСО.Учитывая второй закон Ньютона (или уравнения Эйлера-Лагранжа в лагранжевой механике), можно утверждать, что если скорость некоторого тела в данной ИСО постоянна (ускорение равно нулю), то она должна быть постоянна и во всех остальных ИСО. Иногда это и принимают за определение ИСО.

Формально, принцип относительности Эйнштейна распространил классический принцип относительности (Галилея) с механических на все физические явления. Однако, если учесть, что во времена Галилея физика заключалась собственно в механике, то и классический принцип тоже можно считать распространяющимся на все физические явления. В том числе он должен распространяться и на электромагнитные явления, описываемые уравнениями Максвелла. Однако, согласно последним (и это можно считать эмпирически установленным, так как уравнения выведены из эмпирически выявленных закономерностей), скорость распространения света является определённой величиной, не зависящей от скорости источника (по крайней мере в одной системе отсчёта). Принцип относительности в таком случае говорит, что она не должна зависеть от скорости источника во всех ИСО в силу их равноправности. А значит, она должна быть постоянной во всех ИСО. В этом заключается суть второго постулата:Постулат 2 (принцип постоянства скорости света). Скорость света в «покоящейся» системе отсчёта не зависит от скорости источника. Принцип постоянства скорости света противоречит классической механике, а конкретно — закону сложения скоростей. При выводе последнего используется только принцип относительности Галилея и неявное допущение одинаковости времени во всех ИСО. Таким образом, из справедливости второго постулата следует, что время должно бытьотносительным - неодинаковым в разных ИСО. Необходимым образом отсюда следует и то, что «расстояния» также должны быть относительны. В самом деле, если свет проходит расстояние между двумя точками за некоторое время, а в другой системе — за другое время и притом с той же скоростью, то отсюда непосредственно следует, что и расстояние в этой системе должно отличаться.Необходимо отметить, что световые сигналы, вообще говоря, не требуются при обосновании СТО. Хотя неинвариантность уравнений Максвелла относительно преобразований Галилеяпривела к построению СТО, последняя имеет более общий характер и применима ко всем видам взаимодействий и физических процессов. Фундаментальная константа Разность фаз между перемещением и ускорением, возникающая в преобразованиях Лоренца, имеет смысл предельной скорости движения материальных тел. Численно она совпадает со скоростью света, однако этот факт, согласно современной квантовой теории поля (уравнения которой изначально строятся как релятивистски инвариантные) связан с безмассовостью электромагнитных полей. Даже если бы фотонимел отличную от нуля массу, преобразования Лоренца от этого бы не изменились. Поэтому имеет смысл различать фундаментальную скорость Условия необходимые для совершения колебаний системой и скорость света Инерциальная система с постоянным угловым ускорением[8]. Первая константа отражает общие свойства пространства и времени, тогда как вторая связана со свойствами конкретного взаимодействия.

В связи с этим второй постулат следует формулировать как существование предельной (максимальной) скорости движения. По своей сути она должна быть одинаковой во всех ИСО, хотя бы потому, что в противном случае различные ИСО не будут равноправны, что противоречит принципу относительности. Более того, исходя из принципа «минимальности» аксиом, можно сформулировать второй постулат просто как существование некоторой скорости, одинаковой во всех ИСО, а после вывода соответствующих преобразований — показать, что это предельная скорость (потому, что подстановка в эти формулы скоростей больше этой скорости приводит к мнимости координат). Относительность одновременности Если два разнесённых в пространстве события (например, вспышки света) происходят одновременно в движущейся системе отсчёта Инерциальная система с постоянным угловым ускорениемРазность фаз между перемещением и ускорением, то они будут неодновременны относительно «неподвижной» системы S. При Условия необходимые для совершения колебаний системойИнерциальная система с постоянным угловым ускорением из преобразований Лоренца следует Инерциальная система с постоянным угловым ускорениемРазность фаз между перемещением и ускорением Если Условия необходимые для совершения колебаний системойИнерциальная система с постоянным угловым ускорением=Инерциальная система с постоянным угловым ускорениемРазность фаз между перемещением и ускорением , то иУсловия необходимые для совершения колебаний системойИнерциальная система с постоянным угловым ускорением=Инерциальная система с постоянным угловым ускорениемРазность фаз между перемещением и ускорением. Это означает, что, с точки зрения неподвижного наблюдателя, левое событие происходит раньше правого Условия необходимые для совершения колебаний системойИнерциальная система с постоянным угловым ускорением. Относительность одновременности приводит к невозможности синхронизации часов в различных инерциальных системах отсчёта во всём пространстве.

Инерциальная система с постоянным угловым ускорениемС точки зрения системы S Разность фаз между перемещением и ускорениемС точки зрения системы S’

Пусть в двух системах отсчёта вдоль оси x расположены синхронизированные в каждой системе часы, и в момент совпадения «центральных» часов (на рисунке s) они показывают одинаковое время.Левый рисунок показывает, как эта ситуация выглядит с точки зрения наблюдателя в системе S. Часы в движущейся системе отсчёта показывают различное время. Находящиеся по ходу движения часы отстают, а находящиеся против хода движения опережают «центральные» часы. Аналогична ситуация для наблюдателей в S’ ( рисунок). Преобразования Лоренца Пусть координатные оси двух инерциальных систем отсчёта  S и Условия необходимые для совершения колебаний системойИнерциальная система с постоянным угловым ускорением параллельны друг другу, (t,x,y,z)  — время и координаты некоторого события, наблюдаемого относительно системы S, а Инерциальная система с постоянным угловым ускорениемРазность фаз между перемещением и ускорением — время и координаты того же события относительно системы Условия необходимые для совершения колебаний системойИнерциальная система с постоянным угловым ускорением.

Общий вид преобразований Лоренца в векторном виде, когда скорость систем отсчёта имеет произвольное направление: Инерциальная система с постоянным угловым ускорениемРазность фаз между перемещением и ускорением где Условия необходимые для совершения колебаний системойИнерциальная система с постоянным угловым ускорением — фактор Лоренца, r и Инерциальная система с постоянным угловым ускорениемРазность фаз между перемещением и ускорением — радиус-векторы события относительно систем S и S’.Если сориентировать координатные оси по направлению относительного движения инерциальных систем (то есть в общие формулы подставить Условия необходимые для совершения колебаний системойИнерциальная система с постоянным угловым ускорением  и выбрать это направление в качестве оси x (то есть так, чтобы система S’ двигалась равномерно и прямолинейно со скоростью U относительно S вдоль оси x), то преобразования Лоренца примут следующий вид: Инерциальная система с постоянным угловым ускорениемРазность фаз между перемещением и ускорением Условия необходимые для совершения колебаний системойИнерциальная система с постоянным угловым ускорением Инерциальная система с постоянным угловым ускорениемРазность фаз между перемещением и ускорением Условия необходимые для совершения колебаний системойИнерциальная система с постоянным угловым ускорением где C — скорость света. При скоростях много меньше скорости света (Инерциальная система с постоянным угловым ускорениемРазность фаз между перемещением и ускорением) преобразования Лоренца переходят в преобразования Галилея: Условия необходимые для совершения колебаний системойИнерциальная система с постоянным угловым ускорением Инерциальная система с постоянным угловым ускорениемРазность фаз между перемещением и ускорением Условия необходимые для совершения колебаний системойИнерциальная система с постоянным угловым ускорением Инерциальная система с постоянным угловым ускорениемРазность фаз между перемещением и ускорением Подобный предельный переход является отражением принципа соответствия, согласно которому более общая теория (СТО) имеет своим предельным случаем менее общую теорию (в данном случае — классическую механику).

Следствия из преобразований Лоренца: изменение длин промежутков времени, закон сложения скоростей.

Сложение скоростей Непосредственным следствием преобразований Лоренца является релятивистское правило сложения скоростей. Если некоторый объект имеет компоненты скорости Условия необходимые для совершения колебаний системойИнерциальная система с постоянным угловым ускорением  относительно системы S иИнерциальная система с постоянным угловым ускорениемРазность фаз между перемещением и ускорением  — относительно S’, то между ними существует следующая связь: Условия необходимые для совершения колебаний системойИнерциальная система с постоянным угловым ускорением

В этих соотношениях относительная скорость движения систем отсчёта v направлена вдоль оси x. Релятивистское сложение скоростей, как и преобразования Лоренца, при малых скоростях (Инерциальная система с постоянным угловым ускорениемРазность фаз между перемещением и ускорением) переходит в классический закон сложения скоростей.

Если объект движется со скоростью света Условия необходимые для совершения колебаний системойИнерциальная система с постоянным угловым ускорением вдоль оси x относительно системы S, то такая же скорость у него будет и относительно S’: Инерциальная система с постоянным угловым ускорениемРазность фаз между перемещением и ускорением. Это означает, что скорость Условия необходимые для совершения колебаний системойявляется инвариантной (одинаковой) во всех ИСО Замедление времени Если часы неподвижны в системе Инерциальная система с постоянным угловым ускорениемИнерциальная система с постоянным угловым ускорением, то для двух последовательных событий имеет место Разность фаз между перемещением и ускорениемУсловия необходимые для совершения колебаний системой. Такие часы перемещаются относительно системы S по закону Инерциальная система с постоянным угловым ускорениемИнерциальная система с постоянным угловым ускорением, поэтому интервалы времени связаны следующим образом:Разность фаз между перемещением и ускорениемУсловия необходимые для совершения колебаний системой Важно понимать, что в этой формуле интервал времени Инерциальная система с постоянным угловым ускорениемИнерциальная система с постоянным угловым ускорением измеряется одними движущимися часами Разность фаз между перемещением и ускорениемУсловия необходимые для совершения колебаний системой. Он сравнивается с показаниями Инерциальная система с постоянным угловым ускорениемИнерциальная система с постоянным угловым ускорением нескольких различных, синхронно идущих часов, расположенных в системе S, мимо которых движутся часы Разность фаз между перемещением и ускорениемУсловия необходимые для совершения колебаний системой. В результате такого сравнения оказывается, что движущиеся часы Инерциальная система с постоянным угловым ускорениемИнерциальная система с постоянным угловым ускорением идут медленнее неподвижных часов. С этим эффектом связан так называемый парадокс близнецов. Если часы движутся с переменной скоростью u(t) относительно инерциальной системы отсчёта, то время, измеряемое этими часами (т. н. собственное время) может быть вычислено по следующей формуле: Разность фаз между перемещением и ускорениемУсловия необходимые для совершения колебаний системой где при помощи интегрирования суммируются интервалы времени в локально инерциальных системах отсчёта (т. н. мгновенно сопутствующих ИСО).

19. Уравнение состояния идеального газа. Макроскопическая система и ее термодинамическое состояние. Давление и температура газа, как основные микропараметры системы. Идеальный газ. Уравнение состояния идеального газа. Изопроцессы. Макроскопическая система и ее термодинамическое состояние.В механике решались задачи различных движений тела или группы тел. Внутреннее строение тела и его состояние при этом не рассматривались. Молекулярная физика изучает физические свойства и агрегатные состояния тел в зависимости от их молекулярного строения, взаимодействия между частицами, образующими тело, характера их теплового движения. Мир, окружающий нас, состоит из макроскопических тел, которые построены из молекул и атомов. Число рассматриваемых частиц макроскопических тел огромное, их совокупность называется макроскопической системой. Макроскопическое состояние системы описывается с помощью макроскопических величин (величин, значительно превышающих атомные размеры), которые могут быть определены при макроскопических измерениях.  Наиболее типичные макроскопические системы содержат огромное число взаимодействующих атомов (например, в газе, близком по своим свойствам к идеальному газу при нормальных условиях, содержится порядка Инерциальная система с постоянным угловым ускорениемИнерциальная система с постоянным угловым ускорением ; в жидком или твердом состоянии – Разность фаз между перемещением и ускорениемУсловия необходимые для совершения колебаний системой ;). С точки зрения классической механики движение каждого атома описывается законами механики. Однако совокупность законов, определяющих поведение каждой частицы этой сложной системы, приводит к неразрешимой системе дифференциальных уравнений. Описание макроскопических свойств систем, состоящих из огромного количества частиц, основано на статистических методах.

Давление, температура - параметры состояния газа. Или их называют макропараметрами. Температура — внешняя характеристика скоростей частиц газа. Давление — внешняя характеристика соударений со стенками, например, сосуда. Идеальный газ Это несуществующая физическая модель газа, который состоит из большого числа молекул, размеры которых ничтожно малы по сравнению со средними расстояниями между ними. Молекулы такого газа можно считать материальными точками, это означает, что их вращательное и колебательное движения не принимаются во внимание. Движение молекул происходит без столкновений с другими молекулами, подчиняется законам Ньютона. Соударения молекул со стенками сосуда являются абсолютно упругими. Уравнение состояния  идеального газа  (иногда уравнение Клапейрона или уравнение Менделеева — Клапейрона) — формула, устанавливающая зависимость между давлениеммолярным объёмом и абсолютной температурой идеального газа. Уравнение имеет вид: Инерциальная система с постоянным угловым ускорениемИнерциальная система с постоянным угловым ускорением, где p — давление, Разность фаз между перемещением и ускорениемУсловия необходимые для совершения колебаний системой — молярный объём, R — универсальная газовая постоянная T — абсолютная температураК. Так как Инерциальная система с постоянным угловым ускорениемИнерциальная система с постоянным угловым ускорением , где Разность фаз между перемещением и ускорениемУсловия необходимые для совершения колебаний системой — количество вещества, а Инерциальная система с постоянным угловым ускорениемИнерциальная система с постоянным угловым ускорением , где m  — масса, M — молярная масса, уравнение состояния можно записать: Разность фаз между перемещением и ускорениемУсловия необходимые для совершения колебаний системой Эта форма записи носит имя уравнения (закона) Менделеева — Клапейрона. Уравнение, выведенное Клапейроном, содержало некую не универсальную газовую постоянную r, значение которой необходимо было измерять для каждого газа:pV=rT Менделеев же обнаружил, что r прямо пропорциональна Инерциальная система с постоянным угловым ускорениемИнерциальная система с постоянным угловым ускорением, коэффициент пропорциональности R он назвал универсальной газовой постоянной. Изопроцессы. Макропараметры: давление, объем и температура описывают состояние газа. Если при неизменной массе газа один из параметров не изменяется, получим изопроцессы m=const Разность фаз между перемещением и ускорениемУсловия необходимые для совершения колебаний системой(уравнение Клайперона) p=const изобарный процесс Инерциальная система с постоянным угловым ускорениемИнерциальная система с постоянным угловым ускорением(Закон Гей-Люссака) V=const (изохорный процесс, Закон Шарля) T=constРазность фаз между перемещением и ускорениемУсловия необходимые для совершения колебаний системойpV=const (изотермический процесс, Закон Бойля-Мариотта) m Инерциальная система с постоянным угловым ускорениемИнерциальная система с постоянным угловым ускорениемconst Разность фаз между перемещением и ускорениемУсловия необходимые для совершения колебаний системой(Уравнение Менделеева-Клайперона).

21. Первый закон термодинамики. Закон распределения кинетической энергии молекул по степеням свободы. Внутренняя энергия идеального газа. Работа расширения газа. Первый закон термодинамики.

Закон распределения кинетической энергии молекул по степеням свободы Молекулы можно рассматривать как системы материальных точек (атомов) совершающих как поступательное, так и вращательное движения. При исследовании движения тела необходимо знать его положение относительно выбранной системы координат. Для этого вводится понятие о степенях свободы тела. Число независимых координат, которые полностью определяют положение тела в пространстве, называется числом степеней свободы тела. Закон равномерного распределения энергии по степеням свободы молекул можно сформулировать следующим образом: статистически в среднем на каждую степень свободы молекул приходится одинаковая энергия. Поступательное движение молекул характеризуется средней кинетической энергией, равной Инерциальная система с постоянным угловым ускорениемИнерциальная система с постоянным угловым ускорением . Так как поступательному движению соответствует 3 степени свободы, то в среднем на одну степень свободы движения молекул приходится энергия Разность фаз между перемещением и ускорениемУсловия необходимые для совершения колебаний системой В однородном газе, молекулы которого имеют любое число степеней свободы i, каждая молекула в среднем обладает энергией движения, равной Инерциальная система с постоянным угловым ускорениемИнерциальная система с постоянным угловым ускорением Внутренняя энергия идеального газа. В теории идеального газа потенциальная энергия взаимодействия молекул считается равной нулю. Поэтому внутренняя энергия идеального газа определяется кинетической энергией движения всех его молекул. Средняя энергия движения одной молекулы равна Разность фаз между перемещением и ускорениемУсловия необходимые для совершения колебаний системой

Так как в одном киломоле содержится Инерциальная система с постоянным угловым ускорениемИнерциальная система с постоянным угловым ускорением молекул, то внутренняя энергия одного киломоля газа будет Разность фаз между перемещением и ускорениемУсловия необходимые для совершения колебаний системойУчитывая, что Инерциальная система с постоянным угловым ускорениемИнерциальная система с постоянным угловым ускорением  , получим Разность фаз между перемещением и ускорениемУсловия необходимые для совершения колебаний системой Для любой массы m газа, т.е. для любого числа киломолей Инерциальная система с постоянным угловым ускорениемИнерциальная система с постоянным угловым ускорением внутренняя энергия Разность фаз между перемещением и ускорениемУсловия необходимые для совершения колебаний системой Из этого выражения следует, что внутренняя энергия является однозначной функцией состояния и, следовательно, при совершении системой любого процесса, в результате которого система возвращается в исходное состояние, полное изменение внутренней энергии равно нулю. Математически это записывается в виде тождества Инерциальная система с постоянным угловым ускорениемИнерциальная система с постоянным угловым ускорением Работа расширения идеального газа Работа над газом выполняется внешними силами при его сжатии. Работа самого газа выполняется при его расширении. Пусть газ расширяется так, что поршеньподнимается на величину dx. Тогда газ выполнит работу Разность фаз между перемещением и ускорениемУсловия необходимые для совершения колебаний системой  (S – площадь поршня). Получим Инерциальная система с постоянным угловым ускорениемИнерциальная система с постоянным угловым ускорением Эта величина называется элементарной работой газа. Работа при расширении газа от объема V1 до V2будет равна Разность фаз между перемещением и ускорениемУсловия необходимые для совершения колебаний системой Если по одной оси отложить объем газа, по другой – его давление (плоскость P – V), то работа будет изображаться площадью под кривой P(V)  Работа расширения  зависит от того, каким образом это расширение происходит.  Значение работы расширения идеального газа зависит от условий. Наибольшая работа получится тогда, когда в процессе расширения внешнее давление все время лишь на бесконечно малую величину меньше собственного давления газа, и расширение происходит очень медленно. Первый закон термодинамики - есть закон сохранения энергии: при любых физических взаимодействиях энергия не возникает и не исчезает, а только передается от одних тел другим или превращается из одной формы в другую. Общая форма закона сохранения и превращения энергии имеет вид Инерциальная система с постоянным угловым ускорениемИнерциальная система с постоянным угловым ускорением Разность фаз между перемещением и ускорениемУсловия необходимые для совершения колебаний системой — изменение механической энергии системы, Инерциальная система с постоянным угловым ускорениемИнерциальная система с постоянным угловым ускорением – изменение внутренней энергии тел системы, A –работа внешних сил, Q – количество теплоты, полученной системой. Разность фаз между перемещением и ускорениемУсловия необходимые для совершения колебаний системой Но изучая тепловые процессы, мы будем рассматривать формулу  Согласно первому закону термодинамики, изменение внутренней энергии термодинамической системы при переходе из одного состояние в другое равно сумме работы, выполненной внешними силами, и количества теплоты, переданной системе извне Инерциальная система с постоянным угловым ускорениемИнерциальная система с постоянным угловым ускорением–изменение внутренней энергии системы A- работа внешних сил Q – количество полученной системой теплоты.

Сформулировать первый закон термодинамики можно иначе: количество теплоты, получаемое системой извне при ее переходе из одного состояния в другое, расходуется на повышение внутренней энергии системы и на работу, которую она выполняет против внешних сил Разность фаз между перемещением и ускорениемУсловия необходимые для совершения колебаний системой Инерциальная система с постоянным угловым ускорениемИнерциальная система с постоянным угловым ускорениемизменение внутренней энергии системы Разность фаз между перемещением и ускорениемУсловия необходимые для совершения колебаний системойработа силой термодинамической системы Q – количество полученной системой теплоты Инерциальная система с постоянным угловым ускорением

 Например, вы кипятите чайник с водой. Количество тепла расходуется на их нагревание (увеличивается энергия частиц, то есть внутренняя энергия системы), а затем происходит приподнимание крышки — это работа, которую выполняет система.

Внешняя работа над системой равна работе системы, но с противоположным знаком Инерциальная система с постоянным угловым ускорениемРазность фаз между перемещением и ускорением

22.Термодинамика изопроцессов. Первый закон термодинамики для изобарного, изохорного, изотермического процессов. Адиабатический процесс. Уравнение Пуассона. Первый закон термодинамики для изобарного, изохорного, изотермического процессов При изотермическом процессе температура не изменяется, значит не изменяется внутренняя энергия Условия необходимые для совершения колебаний системойИнерциальная система с постоянным угловым ускорением Первый закон принимает вид  Инерциальная система с постоянным угловым ускорениемРазность фаз между перемещением и ускорением Все количество теплоты, которую получает газ расходуется на выполнение им работы против внешних сил. Или, если газ сжимается, при этом не изменяется температура, работу выполняют внешние силы, а газ отдает некоторое количество теплоты в окружающую среду. При изохорном процессе объем не изменяется, значит работа нулевая Условия необходимые для совершения колебаний системойИнерциальная система с постоянным угловым ускорением Первый закон термодинамики принимает вид  Инерциальная система с постоянным угловым ускорениемРазность фаз между перемещением и ускорением В этом случае Условия необходимые для совершения колебаний системойИнерциальная система с постоянным угловым ускорением  Если газ изохорно охлаждается, его внутренняя энергия уменьшается, и он отдает теплоту в окружающую среду. При изобарном процессе первый закон термодинамики имеет общий вид Инерциальная система с постоянным угловым ускорениемРазность фаз между перемещением и ускорением  Здесь справедливы формулы Условия необходимые для совершения колебаний системойИнерциальная система с постоянным угловым ускорением  Адиабатический процесс. (адиабатный) Процесс при тепловой изоляции системы от окружающей среды, то есть Q=0 Инерциальная система с постоянным угловым ускорениемРазность фаз между перемещением и ускорением Изменение внутренней энергии происходит только за счет работы внешних сил. Или совершаемая системой работа происходит за счет убыли внутренней энергии.

Практически все реальные процессы происходят с теплообменом: адиабатические процессы — это редкое исключение. Уравнение Пуассона Уравнение адиабатного процесса (уравнение Пуассона) Условия необходимые для совершения колебаний системойИнерциальная система с постоянным угловым ускорением Инерциальная система с постоянным угловым ускорениемРазность фаз между перемещением и ускорением

23.Теплоемкости идеального газа. Теплоемкость удельная, молярная и связь между ними. Удельная и молярная теплоемкости газа при постоянном объеме, постоянном давлении. Уравнение Майера.

Молярная теплоёмкость — отношение теплоёмкости к количеству вещества, теплоёмкость одного моля вещества . Это физическая величина, численно равная количеству теплоты, которое необходимо передать одному молю (данного) вещества для того, чтобы его температура изменилась на единицу.  молярная теплоёмкость измеряется в Дж/(моль·К).

Молярная теплоёмкость обычно обозначается Условия необходимые для совершения колебаний системойИнерциальная система с постоянным угловым ускорением или Инерциальная система с постоянным угловым ускорениемРазность фаз между перемещением и ускорением, иногда без индекса или с другим индексом (характеризующим условия процесса измерения, нумерующим подсистемы итп). На значение молярной теплоёмкости влияет температура вещества и другие термодинамические параметры. Уде́льная теплоёмкость — отношение теплоёмкости к массе, теплоёмкость единичной массы вещества (разная для различных веществ); физическая величина, численно равная количеству теплоты, которое необходимо передать единичной массе данного вещества для того, чтобы его температура изменилась на единицу. удельная теплоёмкость измеряется в  Дж/(кг·К). Удельная теплоёмкость обычно обозначается буквами c или С, часто с индексами.На значение удельной теплоёмкости влияет температура вещества и другие термодинамические параметры.

Формула расчёта удельной теплоёмкости:Условия необходимые для совершения колебаний системойИнерциальная система с постоянным угловым ускорением  , где c — удельная теплоёмкость, Q — количество теплоты, полученное веществом при нагреве (или выделившееся при охлаждении), m — масса нагреваемого (охлаждающегося) вещества, ΔT — разность конечной и начальной температур вещества. Удельная теплоёмкость может зависеть от температуры, поэтому более корректной является следующая формула с малыми (формально бесконечно малыми) Инерциальная система с постоянным угловым ускорениемРазность фаз между перемещением и ускорением: Условия необходимые для совершения колебаний системойИнерциальная система с постоянным угловым ускорением

Удельная теплоемкость — это количество теплоты, необходимое для нагревания 1 кг вещества на 1 К:  Молярная теплоемкость — количество теплоты, необходимое для нагревания 1 моль вещества на 1 К:Инерциальная система с постоянным угловым ускорениемРазность фаз между перемещением и ускорением  Удельная и молярная теплоемкости связаны соотношением: , где М — молярная масса (масса одного моля вещества).

Удельная и молярная теплоемкости газа при постоянном объеме, постоянном давлении. При постоянном объеме работа газа равна нулю (А=0) и все полученное тепло идет на увеличение внутренней энергии газа (Условия необходимые для совершения колебаний системойИнерциальная система с постоянным угловым ускорением). Молярная теплоемкость газа при постоянном объеме: Инерциальная система с постоянным угловым ускорениемРазность фаз между перемещением и ускорением При постоянном давлении тепло Q, полученное газом, идет на увеличение внутренней энергии газа Условия необходимые для совершения колебаний системойИнерциальная система с постоянным угловым ускорением и совершение работы A над внешними телами: Инерциальная система с постоянным угловым ускорениемРазность фаз между перемещением и ускорением . Молярная теплоемкость газа при постоянном давлении: Условия необходимые для совершения колебаний системойИнерциальная система с постоянным угловым ускорением . Таким образом, теплоемкость газа при постоянном давлении связана с теплоемкостью газа при постоянном объеме соотношениями: Инерциальная система с постоянным угловым ускорениемРазность фаз между перемещением и ускорением. Условия необходимые для совершения колебаний системойИнерциальная система с постоянным угловым ускорением

МАЙЕРА УРАВНЕНИЕ - ур-ние, устанавливающее связь между теплоёмкостями при пост, давлении  Cp и пост. объёме СV 1 кмоля  идеального газа: Инерциальная система с постоянным угловым ускорениемРазность фаз между перемещением и ускорением,  где R -газовая постоянная .Впервые было получено Ю. P. Майером в 1842 и ещё до работ Дж. П. Джоуля использовано им для количеств, определения механического эквивалента теплоты. Для произвольной массы т (кг) вещества в состоянии идеального газа M. у. записывается в виде: Условия необходимые для совершения колебаний системойИнерциальная система с постоянным угловым ускорением  , где Инерциальная система с постоянным угловым ускорениемРазность фаз между перемещением и ускорением- молекулярная масса газа. M. у. можно получить из общего соотношенияУсловия необходимые для совершения колебаний системойИнерциальная система с постоянным угловым ускорением ,если учесть, что для идеального газа справедливо Клапейрона уравнение.

24.Тепловые машины. Тепловые двигатели. КПД тепловых двигателей. Второй закон термодинамики. Обратимые и необратимые процессы. Энтропия системы и закон возрастания энтропии. Цикл Карно. КПД цикла. Карно.

Теплово́й дви́гатель — устройство, совершающее работу за счет использования внутренней энергии топлива, тепловая машина, превращающая тепло в механическую энергию, использует зависимость теплового расширения вещества от температуры. (Возможно использование изменения не только объёма, но и формы рабочего тела, как это делается в твёрдотельных двигателях, где в качестве рабочего тела используется вещество в твёрдой фазе.) Действие теплового двигателя подчиняется законам термодинамики. Для работы необходимо создать разность давлений по обе стороны поршня двигателя или лопастей турбины. Для работы двигателя обязательно наличие топлива. Это возможно при нагревании рабочего тела (газа), который совершает работу за счёт изменения своей внутренней энергии. Повышение и понижение температуры осуществляется, соответственно, нагревателем и охладителем.

КПД теплово́го дви́гателя — отношение совершённой полезной работы двигателя, к энергии, полученной от нагревателя. КПД теплового двигателя может быть вычислен по следующей формуле Инерциальная система с постоянным угловым ускорениемРазность фаз между перемещением и ускорением где Условия необходимые для совершения колебаний системойИнерциальная система с постоянным угловым ускорением— количество теплоты, полученное от нагревателя, Инерциальная система с постоянным угловым ускорениемРазность фаз между перемещением и ускорением—  — количество теплоты, отданное холодильнику. Наибольшим КПД среди циклических машин, оперирующих при заданных температурах горячего источника T1 и холодного T2, обладают тепловые двигатели, работающие по циклу Карно; этот предельный КПД равен Условия необходимые для совершения колебаний системойИнерциальная система с постоянным угловым ускорением Второй закон термодинамики. Второй закон связан с понятием энтропии, являющейся мерой хаоса (или мерой порядка). Второй закон термодинамики гласит, что для вселенной в целом энтропия возрастает. Существует два классических определения второго закона термодинамики :

Кельвина и Планка Не существует циклического процесса, который извлекает количество теплоты из резервуара при определенной температуре и полностью превращает эту теплоту в работу. (Невозможно построить периодически действующую машину, которая не производит ничего другого, кроме поднятия груза и охлаждения резервуара теплоты)

Клаузиуса Не существует процесса, единственным результатом которого является передача количества теплоты от менее нагретого тела к более нагретому. (Невозможен круговой процесс, единственным результатом которого было бы производство работы за счет охлаждения теплового резервуара) Оба определения второго закона термодинамики опираются на первый закон термодинамики, утверждающий, что энергия убывает.Второй закон связан с понятием энтропии (S). Энтропия системы есть функция ее состояния, определенная с точностью до произвольной постоянной. Разность энтропий в двух равновесных состояниях 2 и 1, по определению, равна приведенному количеству теплоты, которое надо сообщить системе, чтобы перевести ее из состояния 1 в состояние 2 по любому квазистатическому пути. Энтропия порождается всеми процессами, она связана с потерей системы способности совершать работу. Рост энтропии — стихийный процесс. Если объем и энергия системы постоянны, то любое измение в системе увеличивает энтропию. Если же объем или энергия системы меняются, энтропия системы уменьшается. Однако, энтропия вселенной при этом не уменьшается.

Для того, чтобы энергию можно было использовать, в системе должны быть области с высоким и низким уровнями энергии. Полезная работа производится в результате передачи энергии от области с высоким уровнем энергии к области с низким уровнем энергии. -100% энергии не может быть преобразовано в работу — Энтропия может вырабатываться, но не может быть уничтожена. Закон возрастания энтропии. «В изолированной системе энтропия не уменьшается».Если в некоторый момент времени замкнутая система находится в неравновесном макроскопическом состоянии, то в последующие моменты времени наиболее вероятным следствием будет монотонное возрастание ее энтропии. Закон неубывания энтропии или так называемый физический смысл второго закона термодинамики был открыт Клаузиусом (1865), а его теоретическое обоснование было даноБольцманом (1870-е годы).

Если в некоторый момент времени энтропия замкнутой системы отлична от максимальной, то в последующие моменты энтропия не убывает — увеличивается или в предельном случае остается постоянной.

Обратимые и необратимые процессы, пути изменения состояния термодинамической системы. Процесс называют обратимым, если он допускает возвращение рассматриваемой системы из конечного состояния в исходное через ту же последовательность промежуточных состояний, что и в прямом процессе, но проходимую в обратном порядке. Обратимый процесс возможен, если и в системе, и в окружающей среде он протекает равновесно. При этом предполагается, что равновесие существует между отдельными частями рассматриваемой системы и на границе с окружающей средой. Обратимый процесс — идеализированный случай, достижимый лишь при бесконечно медленном изменении термодинамических параметров. Скорость установления равновесия должна быть больше, чем скорость рассматриваемого процесса. Если невозможно найти способ вернуть и систему, и тела в окружающей среде в исходное состояние, процесс изменения состояния системы называют необратимым. Необратимые процессы могут протекать самопроизвольно только в одном направлении; таковы диффузия,теплопроводность, вязкое течение и другое. Для химической реакции применяют понятия термодинамической и кинетической обратимости, которые совпадают только в непосредственной близости к состоянию равновесия. Р-ция А + В Инерциальная система с постоянным угловым ускорениемРазность фаз между перемещением и ускорениемС + D наз. кинетически обратимой или двусторонней, если в данных условиях продукты С и D могут реагировать друг с другом с образованием исходных веществ А и В. При этом скорости прямой и обратной реакций, соотв. Условия необходимые для совершения колебаний системойИнерциальная система с постоянным угловым ускорением и Инерциальная система с постоянным угловым ускорениемРазность фаз между перемещением и ускорением , гдеУсловия необходимые для совершения колебаний системойИнерциальная система с постоянным угловым ускорением и Инерциальная система с постоянным угловым ускорениемРазность фаз между перемещением и ускорением -константы скорости, [А], [В], [С], [D]- текущие концентрации (активности), с течением времени становятся равными и наступает химическое равновесие, в котором Условия необходимые для совершения колебаний системойИнерциальная система с постоянным угловым ускорением онстанта равновесия, зависящая от температуры. Кинетически необратимыми (односторонними) являются обычно такие реакции, в ходе которых хотя бы один из продуктов удаляется из зоны реакции (выпадает в осадок, улетучивается или выделяется в виде малодиссоциированного соединения), а также реакции, сопровождающиеся выделением большого кол-ва тепла. В термодинамике цикл Карно́ или процесс Карно — это обратимый круговой процесс, состоящий из двух адиабатических и двухизотермических процессов. В процессе Карно термодинамическая система выполняет механическую работу и обменивается теплотой с двумя тепловым и резервуарами, имеющими постоянные, но различающиеся температуры. Резервуар с более высокой температурой называется нагревателем, а с более низкой температурой — холодильником.

Цикл Карно назван в честь французского учёного и инженера Сади Карно, который впервые его описал в своём сочинении «О движущей силе огня и о машинах, способных развивать эту силу» в 1824 году.

Поскольку обратимые процессы могут осуществляться лишь с бесконечно малой скоростью, мощность тепловой машины в цикле Карно равна нулю. Мощность реальных тепловых машин не может быть равна нулю, поэтому реальные процессы могут приближаться к идеальному обратимому процессу Карно только с большей или меньшей степенью точности. В цикле Карно тепловая машина преобразует теплоту в работу с максимально возможным коэффициентом полезного действия из всех тепловых машин, у которых максимальная и минимальная температуры в рабочем цикле совпадают соответственно с температурами нагревателя и холодильника в цикле Карно. КПД тепловой машины Карно: Количество теплоты, полученное рабочим телом от нагревателя при изотермическом расширении, равно Инерциальная система с постоянным угловым ускорениемРазность фаз между перемещением и ускорением Аналогично, при изотермическом сжатии рабочее тело отдаёт холодильнику Условия необходимые для совершения колебаний системойИнерциальная система с постоянным угловым ускорением Отсюда коэффициент полезного действия тепловой машины Карно равен Инерциальная система с постоянным угловым ускорениемРазность фаз между перемещением и ускорением. «В изолированной системе энтропия не уменьшается».

Если в некоторый момент времени замкнутая система находится в неравновесном макроскопическом состоянии, то в последующие моменты времени наиболее вероятным следствием будет монотонное возрастание ее энтропии.

Закон неубывания энтропии или так называемый физический смысл второго закона термодинамики был открыт Клаузиусом (1865), а его теоретическое обоснование было даноБольцманом (1870-е годы). Если в некоторый момент времени энтропия замкнутой системы отлична от максимальной, то в последующие моменты энтропия не убывает — увеличивается или в предельном случае остается постоянной.

25. Явления переноса. Явления переноса. Равновесные и неравновесные процессы. Экспериментальные законы диффузии, теплопроводности и внутреннего трения. Молекулярно-кинетическая теория явлений переноса.

Явления переноса: В термодинамически неравновесных системах возникают особые необратимые процессы, называемые явлениями переноса, в результате которых происходит пространственный перенос энергии, массы, импульса. К явлениям переноса относятся теплопроводность (обусловлена переносом энергии),диффузия (обусловлена переносом массы) и внутреннее трение (обусловлено переносом импульса). Для простоты ограничимся одномерными явлениями переноса. Систему отсчета выберем так, чтобы ось х была ориентирована в направлении переноса. 1. Теплопроводность. Если в одной области газа средняя кинетическая энергия молекул больше, чем в другой, то с течением времени вследствие постоянных столкновений молекул происходит процесс выравнивания средних кинетических энергий молекул, т. е., иными словами, выравнивание температур. Перенос энергии в форме теплоты подчиняется закону Фурье: Условия необходимые для совершения колебаний системойИнерциальная система с постоянным угловым ускорением где jE  — плотность теплового потока — величина, определяемая энергией, переносимой в форме теплоты в единицу времени через единичную площадку,перпендикулярную оси х, l  теплопроводность,  Инерциальная система с постоянным угловым ускорениемРазность фаз между перемещением и ускорением — градиент температуры, равный скорости изменения температуры на единицу длины х в направлении нормали к этой площадке. Знак минус показывает, что при теплопроводности энергия переносится в направлении убывания температуры (поэтому знаки jE  и Условия необходимые для совершения колебаний системойИнерциальная система с постоянным угловым ускорением – противоположны). Теплопроводность l численно равна плотности теплового потока при градиенте температуры, равном единице.

2. Диффузия. Явление диффузии заключается в том, что происходит самопроизвольное проникновение и перемешивание частиц двух соприкасающихся газов, жидкостей и даже твердых тел; диффузия сводится к обмену масс частиц этих тел, возникает и продолжается, пока существует градиент плотности. Во время становления молекулярно-кинетической теории по вопросу диффузии возникли противоречия. Так как молекулы движутся с огромными скоростями, диффузия должна происходить очень быстро. Если же открыть в комнате сосуд с пахучим веществом, то запах распространяется довольно медленно. Однако противоречия здесь нет. Молекулы при атмосферном давлении обладают малой длиной свободного пробега и, сталкиваясь с другими молекулами, в основном «стоят» на месте. Явление диффузии для химически однородного газа подчиняется закону Фука:Инерциальная система с постоянным угловым ускорениемРазность фаз между перемещением и ускорением где jm — плотность потока массы — величина, определяемая массой вещества, диффундирующего в единицу времени через единичную площадку,перпендикулярную оси хD — диффузия (коэффициент диффузии), dr/dx — градиент плотности, равный скорости изменения плотности на единицу длины хв направлении нормали к этой площадке. Знак минус показывает, что перенос массы происходит в направлении убывания плотности (поэтому знаки jm и dr/dxпротивоположны). Диффузия D численно равна плотности потока массы при градиенте плотности, равном единице.  3. Внутреннее трение (вязкость).

Механизм возникновения внутреннего трения между параллельными слоями газа (жидкости), движущимися с различными скоростями, заключается в том, что из-за хаотического теплового движения происходит обмен молекулами между слоями, в результате чего импульс слоя, движущегося быстрее, уменьшается, движущегося медленнее — увеличивается, что приводит к торможению слоя, движущегося быстрее, и ускорению слоя, движущегося медленнее. сила внутреннего трения между двумя слоями газа (жидкости) подчиняется закону Ньютона: Условия необходимые для совершения колебаний системойИнерциальная система с постоянным угловым ускорением, где h — динамическая вязкость (вязкость), dv/dx — градиент скорости, показывающий быстроту изменения скорости в направлении х, перпендикулярном направлению движения слоев, S — площадь, на которую действует сила F.

Неравновесные процессы Вследствие необратимости термодинамических процессов все процессы в изолированной системе протекают лишь в одном направлении — в направлении приближения системы к состоянию теплового равновесия. Будучи выведена из состояния равновесия, система переходит в новое состояние равновесия спустя некоторое время — время релаксации. Оно зависит от температуры, давления, плотности системы, а также от характера взаимодействия между частицами. Переход системы к равновесному состоянию представляет собой необратимый процесс, поскольку вероятность самопроизвольного перехода равновесной системы в неравновесное состояние ничтожно мала.

Равнове́сный процесс — тепловой процесс, в котором система проходит непрерывный ряд бесконечно близких равновесных термодинамических состояний.Равновесный тепловой процесс называется обратимым, если его можно провести обратно и в телах, окружающих систему, не останется никаких изменений.Реальные процессы изменения состояния системы всегда происходят с конечной скоростью, поэтому не могут быть равновесными. Реальный процесс изменения состояния системы будет тем ближе к равновесному, чем медленнее он совершается, поэтому равновесные процессы называют квазистатическими. Молекулярно-кинетическая теория явлений переноса. законы Фурье, Фика и Ньютона не вскрывают молекулярно-кинетической сути коэффициентов λ, D и η. Выражения для коэффициентов переноса получаются из кинетической теории. Они записаны без вывода, поскольку строгое и формальное рассмотрение явлений переноса довольно громоздко, а качественное — не имеет смысла. Формулы дают связь коэффициентов переноса и характеристики теплового движения молекул. Из этих формул следуют простые зависимости между λ, D и η: Инерциальная система с постоянным угловым ускорением и Разность фаз между перемещением и ускорением 

26. Уравнение Ван-дер-Ваальса. Реальные газы. Силы и потенциальная энергия межмолекулярного взаимодействия. Уравнение Ван-дер-Ваальса. Критическое состояние газа и его параметры. Реальный газ — газ, который не описывается уравнением состояния идеального газа Клапейрона — Менделеева.

Зависимости между его параметрами показывают, что молекулы в реальном газе взаимодействуют между собой и занимают определенный объём. Состояние реального газа часто на практике описывается обобщённым уравнением Менделеева — Клапейрона: Условия необходимые для совершения колебаний системой где p — давление; V — объем; T — температура; Zr = Zr (p,T)  — коэффициент сжимаемости газа; m — масса; М — молярная масса; R — газовая постоянная.

Силы и потенциальная энергия межмолекулярного взаимодействия. При рассмотрении реальных газов — газов, свойства которых зависят от взаимодействия молекул, надо учитывать силы межмолекулярного взаимодействия. Они проявляются на расстояниях £ 10–9 м и быстро убывают при увеличении расстояния между молекулами. Такие силы называются короткодействующими. По мере развития представлений о строении атома и квантовой механики, было выяснено, что между молекулами вещества одновременно действуют силы притяжения и силы отталкивания. На рис. А  приведена качественная зависимость сил межмолекулярного взаимодействия от расстояния r между молекулами, где Fо и Fп — соответственно силы отталкивания и притяжения, a F — их результирующая. Силы отталкивания считаются положительными, а силы взаимного притяжения — отрицательными.

Инерциальная система с постоянным угловым ускорением Инерциальная система с постоянным угловым ускорением

На расстоянии r=r0 результирующая сила F = 0т.е. силы притяжения и отталкивания уравновешивают друг друга. Таким образом, расстояние r0 соответствует равновесному расстоянию между молекулами, на котором бы они находились в отсутствие теплового движения. При r0 преобладают силы отталкивания (F>0), при > r0 — силы притяжения (F<0). На расстояниях > 10–9 м межмолекулярные силы взаимодействия практически отсутствуют (F®0).

Элементарная работа dA силы F при увеличении расстояния между молекулами на dr совершается за счет уменьшения взаимной потенциальной энергии молекул, т. е. Разность фаз между перемещением и ускорениемУсловия необходимые для совершения колебаний системой Из анализа качественной зависимости потенциальной энергии взаимодействия молекул от расстояния между ними (рис. б) следует, что если молекулы находятся друг от друга на расстоянии, на котором межмолекулярные силы взаимодействия не действуют (r®¥), то П=0. При постепенном сближении молекул между, ними появляются силы притяжения (F<0), которые совершают положительную работу (dA=Fdr > 0). Тогда, согласно (60.1), потенциальная энергия взаимодействия уменьшается, достигая минимума при r= r0. При < r0 с уменьшением r силы отталкивания (F>0) резко возрастают и совершаемая против них работа отрицательна (dA=Fdr<0). Потенциальная энергия начинает тоже резко возрастать и становится положительной. Из данной потенциальной кривой следует, что система из двух взаимодействующих молекул в состоянии устойчивого равновесия (= r0) обладает минимальной потенциальной энергией.Критерием различных агрегатных состояний вещества является соотношение между величинами Пmin и kT. Пmin — наименьшая потенциальная энергия взаимодействия молекул — определяет работу, которую нужно совершить против сил притяжения для того, чтобы разъединить молекулы, находящиеся в равновесии (r= r0); kT определяет удвоенную среднюю энергию, приходящуюся на одну степень свободы хаотического (теплового) движения молекул.

Если Пmin<<kT, то вещество находится в газообразном состоянии, так как интенсивное тепловое движение молекул препятствует соединению молекул, сблизившихся до расстояния r0, т. е. вероятность образования агрегатов из молекул достаточно мала. Если Пmin>>kT, то вещество находится в твердом состоянии, так как молекулы, 27/притягиваясь друг к другу, не могут удалиться на значительные расстояния и колеблются около положений равновесия, определяемого расстоянием r0. Если Пmin»kT, то вещество находится в жидком состоянии, так как в результате теплового движения молекулы перемещаются в пространстве, обмениваясь местами, но не расходясь на расстояние, превышающее r0. Таким образом, любое вещество в зависимости от температуры может находиться в газообразном, жидком или твердом агрегатном состоянии, причем температура перехода из одного агрегатного состояния в другое зависит от значения Пmin, для данного вещества. Например, у инертных газов Пmin мало, а у металлов велико, поэтому при обычных (комнатных) температурах они находятся соответственно в газообразном и твердом состояниях. Уравнение состояния газа Ван-дер-Ваальса — уравнение, связывающее основные термодинамические величины в модели газа Ван-дер-Ваальса. Термическим уравнением состояния (или, часто, просто уравнением состояния) называется связь между давлениемобъёмом и температурой. Для одного моля газа Ван-дер-Ваальса оно имеет вид: Инерциальная система с постоянным угловым ускорениемИнерциальная система с постоянным угловым ускорением где

p — давление,Разность фаз между перемещением и ускорениемУсловия необходимые для совершения колебаний системой — молярный объём,T — абсолютная температура,R — универсальная газовая постоянная. Видно, что это уравнение фактически является уравнением состояния идеального газа с двумя поправками. Поправка a  учитывает силы притяжения между молекулами (давление на стенку уменьшается, так как есть силы, втягивающие молекулы приграничного слоя внутрь), поправка b — объем молекул газа. Для v  молей газа Ван-дер-Ваальса уравнение состояния выглядит так:Инерциальная система с постоянным угловым ускорениемИнерциальная система с постоянным угловым ускорением где V  — объём, Критическое состояние - состояние двухфазной системы, в котором сосуществующие в равновесии фазы становятся тождественными по всем своим свойствам. Параметры критического состояния системы (давление рк, т-ра Тк, объем Vк, состав xк и др.) наз. критич. параметрами. За пределами критическое состояние сосуществование рассматриваемых фаз в равновесии невозможно, система превращ. в однофазную (гомогенную). В этом смысле критическое состояние является предельным случаем двухфазного равновесия. В критическом состояния поверхностное (межфазное) натяжение на границе раздела сосуществующих фаз равно нулю, поэтому вблизи критическое состояние легко образуются системы, состоящие из мн. капель или пузырьков (эмульсииаэрозоли, пены). Вблизи критического состояния резко возрастает величина флуктуации плотности (в случае чистых веществ) и концентраций компонентов (в многокомпонентных системах), что приводит к значит. изменению ряда физ. свойств вещества. Критические параметры газа называются значения его макропараметров (давления, объёма и температуры) в критической точке, т.е. в таком состоянии, когда жидкая и газообразная фазы вещества неразличимы. Найдем эти параметры для газа Ван-дер-Ваальса, для чего преобразуем уравнение состояния:

Разность фаз между перемещением и ускорением Условия необходимые для совершения колебаний системойМы получили уравнение третьей степени относительно V.

Инерциальная система с постоянным угловым ускорением В критической точке все три корня уравнения сливаются в один, поэтому предыдущее уравнение эквивалентно следующему:Инерциальная система с постоянным угловым ускорением Разность фаз между перемещением и ускорением

Приравняв коэффициенты при соответствующих степенях V, получим равенства: Условия необходимые для совершения колебаний системой Инерциальная система с постоянным угловым ускорением

Инерциальная система с постоянным угловым ускорениемИз них вычислим значения критических параметров…Разность фаз между перемещением и ускорением Условия необходимые для совершения колебаний системой Инерциальная система с постоянным угловым ускорением.и критического коэффициента: Инерциальная система с постоянным угловым ускорением

27. Фазовые переходы первого и второго рода. Сравнение изотерм Ван-дер-Ваальса с экспериментальными изотермами. Фазы и условия равновесия фаз. Уравнение Клайперона-Клаузиуса. Фазовые диаграммы. Фазовые переходы первого и второго рода.  Сравнение изотерм Ван-дер-Ваальса с экспериментальными изотемами. Физическая сущность уравнения Ван-дер-Ваальса выясняется при рассмотрении экспериментальных изотерм, полученных в 1868 г. Т. Эндрюсом при исследовании углекислоты (рис.).

 

Разность фаз между перемещением и ускорением

Как показывают экспериментальные изотермы, при переход вещества из одной фазы в другую совершается при постоянном давлении р (прямая АВ на рис. ). Если из исследуемой жидкости предварительно удалить воздух и различные примеси, то экспериментально можно обнаружить участок изотермы АВ (см. рис). Участок изотермы АВ описывает перегретую жидкость, т. е. такую жидкость, которая при температуре кипения некоторое время не переходит в пар, расширяясь по кривой АВ. По мере повышения температуры горизонтальные участки изотерм (линия конденсации АВ) (рис. ) становятся все более короткими, при некоторой температуре  линия конденсации исчезает, т. е. начиная с температуры  состояние вещества становится однофазным; температуру Г„ называют критической. Это наибольшая температура, при которой газ может быть еще превращен в жидкость. На изотерме, соответствующей критической температуре, точки А и В сливаются в одну точку К, характеризующуюся такими координатами: VK — критический объем, рк — критическое давление. В критической точке все три корня уравнения должны совпадать. Из этого условия получают значения критических параметров: Условия необходимые для совершения колебаний системойИнерциальная система с постоянным угловым ускорением Инерциальная система с постоянным угловым ускорениемРазность фаз между перемещением и ускорением Условия необходимые для совершения колебаний системойИнерциальная система с постоянным угловым ускорением Если на различных изотермах соединить все точки, при которых начинается процесс кипения, пунктирной линией (рис. ), то эта линия разделит диаграмму р, V на три области. Справа и слева от этой линии вещество находится в однофазном состоянии, справа и выше изотермы Тк — газообразное, слева — жидкое, внутри очерченной области — двухфазовое состояние жидкость — пар. ФАЗА в термодинамике, термодинамически равновесное состояние в-ва, отличающееся по физ. св-вам от др. возможных равновесных состояний (др. фаз) того же в-ва (см. Равновесие термодинамическое). Иногда неравновесное метастабильное состояние в-ва также наз. фазой (метастабильной). Переход в-ва из одной Ф. в другую — фазовый переход — связан с качеств. изменениями св-в в-ва. Напр., газовое, жидкое и крист. состояния (Ф.) в-ва различаются хар-ром движения структурных ч-ц (атомов, молекул) и наличием или отсутствием упорядоченной структуры (см. Агрегатные состояния). Различные крист. Ф. могут отличаться друг от друга типом крист. структуры, электропроводностью, электрич. и магн. св-вами, наличием или отсутствием сверхпроводимости и т. д. Жидкие Ф. отличаются друг от друга концентрацией компонентов, наличием или отсутствием сверхтекучести, анизотропией упругих и электрич. св-в (у жидких кристаллов) и т. д. В тв. сплавах Ф. крист. структуры могут отличаться плотностью, модулями упругости, темп-рой плавления и др. свойствами.Равнове́сие фаз в термодинамике — состояние, при котором фазы в термодинамической системе находятся в состоянии тепловогомеханическогои химического равновесия.Типы фазовых равновесий: Тепловое равновесие означает, что все фазы вещества в системе имеют одинаковую температуру. Механическое равновесие означает равенство давлений по разные стороны границы раздела соприкасающихся фаз. Строго говоря, в реальных системах эти давления равны лишь приближенно, разность давлений создается поверхностным натяжением. Химическое равновесие выражается в равенстве химических потенциалов всех фаз вещества. Условие равновесия фаз Рассмотрим химически однородную систему (состоящую из частиц одного типа). Пусть в этой системе имеется граница раздела между фазами 1 и 2. Как было указано выше, для равновесия фаз требуется равенство температур и давлений на границе раздела фаз. Известно (см. статьюТермодинамические потенциалы), что состояние термодинамического равновесия в системе с постоянными температурой и давлением соответствует точке минимума потенциала Гиббса.

Потенциал Гиббса такой системы будет равен Инерциальная система с постоянным угловым ускорениемРазность фаз между перемещением и ускорением где Условия необходимые для совершения колебаний системойИнерциальная система с постоянным угловым ускорением и Инерциальная система с постоянным угловым ускорениемРазность фаз между перемещением и ускорением — химические потенциалы, а  N1 и N2 — числа частиц в первой и второй фазах соответственно. При этом сумма Условия необходимые для совершения колебаний системойИнерциальная система с постоянным угловым ускорением (полное число частиц в системе) меняться не может, поэтому можно записать Инерциальная система с постоянным угловым ускорениемРазность фаз между перемещением и ускорением. Предположим, что Условия необходимые для совершения колебаний системойИнерциальная система с постоянным угловым ускорением, для определенности, Инерциальная система с постоянным угловым ускорениемРазность фаз между перемещением и ускорением. Тогда, очевидно, минимум потенциала Гиббса достигается при N1=N (все вещество перешло в первую фазу). Таким образом, равновесие фаз возможно только в том случае, когда химические потенциалы этих фаз по разные стороны границы раздела равны: Условия необходимые для совершения колебаний системойИнерциальная система с постоянным угловым ускорением.

Уравнение КлапейронаКлаузиуса — термодинамическое уравнение, относящееся к квазистатическим (равновесным) процессам перехода вещества из одной фазы в другую (испарение, плавление, сублимация, полиморфное превращение и др.). Согласно уравнению, теплота фазового перехода (например, теплота испарениятеплота плавления) при квазистатическом процессе определяется выражением Инерциальная система с постоянным угловым ускорениемРазность фаз между перемещением и ускорением где L — удельная теплота фазового перехода, Условия необходимые для совершения колебаний системойИнерциальная система с постоянным угловым ускорением — изменение удельного объёма тела при фазовом переходе. Уравнение названо в честь его авторов, Рудольфа Клаузиуса и Бенуа Клапейрона. фазовая диаграмма иначе диаграмма состояния —графическое изображение состояний термодинамической системы в пространстве основных параметров состояния — температуры T, давления p и состава x. Фазовые диаграммы позволяют узнать, какие фазы (т. е. однородные подсистемы, отличающиеся строением и/или свойствами от других) могут присутствовать в данной системе при данных условиях и составе. Для сложных систем, состоящих из многих фаз и компонентов, построение диаграмм состояния по экспериментальным данным и данным термодинамического моделирования является важнейшим способом предсказания поведения в ходе различных процессов. Анализ относительного расположения полей, разделяющих их поверхностей и линий, а также точек сочленения последних позволяет однозначно и наглядно определять условия фазовых равновесий, появления в системе новых фаз и химических соединений, образования и распада жидких и твердых растворов и т. п. Фазовые переходы первого и второго рода. Переход вещества от одной фазы в другую – фазовый переход – всегда связан с качественными изменениями свойств вещества. Примером фазового перехода могут служить изменения агрегатного состояния вещества или переходы, связанные с изменениями в составе, строении и свойствах вещества (например, переход кристаллического вещества из одной модификации в другую). Различают фазовые переходы двух родов. Фазовый переход первого рода (например, плавление, кристаллизация и т.д.) сопровождается поглощением или выделением вполне определённого количества теплоты, называемой теплотой фазового перехода.  Фазовые переходы первого рода характеризуются постоянством температуры, изменениями энтропии и объёма. Объяснение этому можно дать следующим образом. Например, при плавлении телу нужно сообщить некоторое количество теплоты, чтобы вызвать разрушение кристаллической решётки. Подводимая при плавлении теплота идёт не на нагрев тела, а на разрыв межатомных связей, поэтому плавление протекает при постоянной температуре. При подобных переходах – из более упорядоченного кристаллического состояния в менее упорядоченное жидкое состояние – степень беспорядка увеличивается и, с точки зрения второго начала термодинамики, этот процесс связан с возрастанием энтропии системы. Если переход происходит в обратном направлении (кристаллизация), то система теплоту выделяет.

Верхняя ветвь отвечает кристаллическому состоянию, а нижняя ветвь представляет свободную энергию парообразной фазы. При низких температурах свободная энергия кристалла меньше, чем пара, и, следовательно, кристаллическое состояние выгоднее. При высоких температурах, наоборот, выгоднее существование парообразного состояния.

При теоретическом описании фазовых переходов первого рода каждую из фаз обычно описывают отдельно. Так, кристаллическую ветвь рассматривают, пользуясь моделью идеального кристалла, т. е. предполагая регулярное расположение всех атомов. Парообразную же ветвь получают, используя модель идеального газа, предполагающую полный беспорядок в системе. Зависимости, полученные для различных моделей, накладывают друг на друга и исследуют, какая из возможностей реализуется в данных условиях. Получить описание фазового перехода первого рода, одновременно учитывая все состояния системы, до настоящего времени не удается из-за огромных математических трудностей.  Фазовые переходы, не связанные с поглощением или выделением теплоты и изменением объёма, называются фазовыми переходами второго рода. Эти переходы характеризуются постоянством объёма и энтропии, но скачкообразным изменением теплоёмкости. Общая трактовка фазовых переходов второго рода предложена советским учёным Л.Д.Ландау (1908-1968). Согласно этой трактовке, фазовые переходы второго рода связаны с изменением симметрии: выше точки перехода система, как правило, обладает более высокой симметрией, чем ниже точки перехода. Примерами фазовых переходов второго рода являются: переход ферромагнитных веществ (железа, никеля) при определённых давлении и температуре в парамагнитное состояние; переход металлов и некоторых сплавов при температуре, близкой к 0К, в сверхпроводящее состояние, характеризуемое скачкообразным уменьшением электрического сопротивления до нуля; превращение обыкновенного жидкого гелия при Т=2,9К в другую жидкую модификацию, обладающую свойствами сверхтекучести.




Предыдущий:

Следующий: