Реферат Киселев Нелинейная теплопроводность


Введение

Как известно в учении о теплообмене рассматриваются процессы распространения теплоты в твердых, жидких и газообразных телах. Эти процессы по своей физико-механической природе весьма многообразны, отличаются большой сложностью и обычно развиваются в виде целого комплекса разнородных явлений.

Перенос теплоты может осуществляться тремя способами: теплопроводностью, конвекцией и излучением, или радиацией. Эти формы глубоко различны по своей природе и характеризуются различными законами.

Теплопрово́дность — это процесс переноса внутренней энергии от более нагретых частей тела (или тел) к менее нагретым частям (или телам), осуществляемый хаотически движущимися частицами тела (атомами, молекулами, электронами и т. п.). Такой теплообмен может происходить в любых телах с неоднородным распределением температур, но механизм переноса теплоты будет зависеть от агрегатного состояния вещества.

Процесс переноса теплоты теплопроводностью происходит между непосредственно соприкасающимися телами или частицами тел с различной температурой. Учение о теплопроводности однородных и изотропных тел опирается на весьма прочный теоретический фундамент. Оно основано на простых количественных законах и располагает хорошо разработанным математическим аппаратом, который будет рассмотрен в данной работе.

Теплопроводность

Как уже было сказано теплопрово́дность — это процесс переноса внутренней энергии от более нагретых частей тела (или тел) к менее нагретым частям (или телам), осуществляемый хаотически движущимися частицами тела (атомами, молекулами, электронами и т. п.).

Теплопроводностью называется также количественная характеристика способности тела проводить тепло. В сравнении тепловых цепей с электрическими это аналог проводимости.

Способность вещества проводить тепло характеризуется коэффициентом теплопроводности (удельной теплопроводностью). Численно эта характеристика равна количеству теплоты, проходящей через образец материала толщиной 1 м, площадью 1 м2, за единицу времени (секунду) при единичном температурном градиенте.

Исторически считалось, что передача тепловой энергии связана с перетеканием теплорода от одного тела к другому. Однако более поздние опыты, в частности нагрев пушечных стволов при сверлении, опровергли реальность существования теплорода как самостоятельного вида материи. Соответственно, в настоящее время считается, что явление теплопроводности обусловлено стремлением объектов занять состояние более близкое к термодинамическому равновесию, что выражается в выравнивании их температуры.

1.1 Закон теплопроводности Фурье

В установившемся режиме плотность потока энергии, передающейся посредством теплопроводности, пропорциональна градиенту температуры:

Теплопроводность в конечном стержне реферат

где Теплопроводность высокочастотных Процессов — вектор плотности теплового потока — количество энергии, проходящей в единицу времени через единицу площади, перпендикулярной каждой оси, Теплопроводность в конечном стержне реферат — коэффициент теплопроводности (удельная теплопроводность), Теплопроводность в конечном стержне реферат — температура. Минус в правой части показывает, что тепловой поток направлен противоположно вектору grad T (то есть в сторону скорейшего убывания температуры). Это выражение известно как закон теплопроводности Фурье.

В интегральной форме это же выражение запишется так (если речь идёт о стационарном потоке тепла от одной грани параллелепипеда к другой):

Теплопроводность высокочастотных Процессов

где Теплопроводность в конечном стержне реферат — полная мощность тепловых потерь, Теплопроводность в конечном стержне реферат — площадь сечения параллелепипеда, Теплопроводность высокочастотных Процессов — перепад температур граней, Теплопроводность в конечном стержне реферат — длина параллелепипеда, то есть расстояние между гранями. Коэффициент теплопроводности измеряется в Вт/(м·K).

1.2 Коэффициент теплопроводности вакуума

Коэффициент теплопроводности вакуума почти ноль (чем глубже вакуум, тем ближе к нулю). Это связано с низкой концентрацией в вакууме материальных частиц, способных переносить тепло. Тем не менее, тепло в вакууме передаётся с помощью излучения. Поэтому, например, для уменьшения теплопотери стенки термоса делают двойными, серебрят (такая поверхность лучше отражает излучение), а воздух между ними откачивают.

1.3 Связь с электропроводностью

Связь коэффициента теплопроводности Теплопроводность в конечном стержне рефератс удельной электрической проводимостью Теплопроводность высокочастотных Процессовв металлах устанавливает закон Видемана — Франца:

Теплопроводность в конечном стержне реферат

где Теплопроводность в конечном стержне реферат — постоянная Больцмана, Теплопроводность высокочастотных Процессов — заряд электрона.

1.4 Коэффициент теплопроводности газов

Коэффициент теплопроводности газов определяется формулой[2]

Теплопроводность в конечном стержне реферат

Где: i — сумма поступательных и вращательных степеней свободы молекул (для двухатомного газа i=5, для одноатомного i=3), k — постоянная Больцмана, M — молярная масса, T — абсолютная температура, d — эффективный диаметр молекул, R — универсальная газовая постоянная. Из формулы видно, что наименьшей теплопроводностью обладают тяжелые одноатомные (инертные) газы, наибольшей — легкие многоатомные (что подтверждается практикой, максимальная теплопроводность из всех газов — у водорода, минимальная — у радона, из нерадиоактивных газов — у ксенона).

1.5 Обобщения закона Фурье

Следует отметить, что закон Фурье не учитывает инерционность процесса теплопроводности, то есть в данной модели изменение температуры в какой-то точке мгновенно распространяется на всё тело. Закон Фурье не применим для описания высокочастотных процессов (и, соответственно, процессов, чьё разложение в ряд Фурье имеет значительные высокочастотные гармоники). Примерами таких процессов являются распространение ультразвука, ударные волны и т. п. Инерционность в уравнения переноса первым ввел Максвелл, а в 1948 году Каттанео был предложен вариант закона Фурье с релаксационным членом:

Теплопроводность в конечном стержне реферат

Если время релаксации Теплопроводность высокочастотных Процессов пренебрежимо мало, то это уравнение переходит в закон Фурье.

Нелинейная теплопроводность

Одним из актуальных направлений современной математической физики является изучение нелинейных математических моделей различных физико-химических явлений и процессов. Появление таких моделей обусловлено использованием в современной физике и технике воздействий на вещество электрических полей большой интенсивности, пучков частиц высокой энергии, мощного лазерного когерентного излучения, ударных волн высокой интенсивности, мощных тепловых потоков. Линейные математические модели являются всегда лишь определенными приближениями при описании различных процессов. Их можно использовать только в тех случаях, когда исследуемые физические величины в рассматриваемом процессе изменяются не в очень широком диапазоне значений.

Нелинейные модели позволяют описать процессы в более широком диапазоне изменения параметров. При этом нелинейности изменяют не только количественные характеристики процессов, но и качественную картину их протекания. В основе нелинейных моделей лежат нелинейные дифференциальные уравнения в частных производных, законченной теории и общих методов решения задач для которых в настоящее время не разработано. Однако для ряда нелинейных задач математической физики удается найти точные аналитические решения, анализ свойств которых позволяет выявить качественно новые нелинейные эффекты в исследуемых процессах. В частности, при исследовании высокотемпературных тепловых процессов с учетом действия таких механизмов переноса энергии, как электронная или лучистая теплопроводности, необходимо учитывать зависимость плотности р, удельной теплоемкости с и коэффициента теплопроводности среды k от температуры.

Мощность тепловых источников, распределенных в объеме среды, также может зависеть от температуры, если учитывать процессы диссоциации и ионизации молекул, фазовые переходы, излучение, горение, химические реакции и другие экзо- и эндотермические процессы, протекающие в нагретой среде.

Теория нелинейной теплопроводности

Уравнение теплопроводности, учитывающее зависимость свойств среды от температуры и нелинейную зависимость от температуры мощности распределенных в объеме тепловых источников, является квазилинейным параболическим уравнением видаТеплопроводность в конечном стержне реферат(1.1)

Нелинейность задачи теплопроводности может быть также обусловлена нелинейностью граничного условия. Такие задачи, в отличие от задач с внутренней нелинейностью, обусловленной нелинейностью уравнения, часто называют задачами с внешней нелинейностью.

Нелинейное граничное условие на поверхности тела может иметь видТеплопроводность в конечном стержне реферат(1.2), где функция в нелинейным образом зависит от температуры.

К таким условиям, например, относится условие на поверхности излучающего тела или условие конвективного теплообмена , в котором коэффициент теплообмена ат зависит от температуры поверхности тела.

Задача теплопроводности становится нелинейной, если учитывать фазовые переходы в среде, такие, как плавление, испарение, конденсация, кристаллизация, происходящие при определенной температуре и сопровождающиеся выделением или поглощением теплоты.

В среде с фазовым переходом появляется поверхность ∑ раздела фаз, которую называют фронтом фазового перехода. Эта поверхность перемещается с конечной скоростью. Баланс тепловой энергии на фронте фазового перехода с температурой u* позволяет записать на движущейся поверхности ∑ фронта кроме условия

u1(P)=u2(P)=u*(1.3) другое граничное условие:

Теплопроводность высокочастотных Процессов(1.4)

где k1, k2 и и1, u2 — коэффициенты теплопроводности и температуры двух соприкасающихся фаз соответственно; q* — удельная массовая теплота фазового перехода; V — мгновенная скорость перемещения фронта фазового перехода в направлении нормали Теплопроводность в конечном стержне рефератповерхности∑ .

Так как скорость перемещения фронта V заранее не известна и должна быть найдена в процессе решения задачи теплопроводности, то граничное условие (1.4), называемое условием Стефана, делает задачу нелинейной.

Возможен и другой подход к моделированию процесса фазового перехода без явного выделения фронта фазового перехода при постановке задачи. Этот подход связан с переходом в класс обобщенных функций. Действительно, теплоту фазового перехода, выделяющуюся на фронте, можно учесть, считая внутреннюю энергию среды разрывной функцией температуры и вводя сосредоточенную теплоемкость среды. При этом внутренняя энергия единицы объема среды е, как функция температуры, при u = u* скачком изменяется на величину теплоты фазового перехода, т.е.

Теплопроводность в конечном стержне реферат(1.5)

Здесь Теплопроводность высокочастотных Процессов= р(u) с(u) — теплоемкость единицы объема среды;

Q*=pq*;Теплопроводность в конечном стержне реферат

импульсная функция Хевисайда, производная которой Теплопроводность в конечном стержне рефератесть дельта-функция

Теплопроводность высокочастотных Процессов.

Дифференцируя теперь внутреннюю энергию (1.5) по температуре, получим выражение для эффективной объемной теплоемкости среды с учетом теплоты фазового перехода

Теплопроводность в конечном стержне рефератэф= Теплопроводность в конечном стержне реферат(u)+Q*Теплопроводность высокочастотных Процессов.

Второе слагаемое, записанное через дельта функцию, представляет собой сосредоточенную теплоемкость, которую следует понимать как обобщенную функцию температуры.

При таком описании фазового перехода уравнение теплопроводности в отсутствие объемных тепловых источников примет вид

[c(u)+q*Теплопроводность в конечном стержне реферат]p(u)Теплопроводность в конечном стержне реферат(1.6)

Здесь Теплопроводность высокочастотных Процессов

Фронт фазового перехода в такой постановке задачи находится как изотермическая поверхность u = u* = const, положение которой в пространстве, а в общем случае и форма, изменяются с течением времени.

Нелинейности изменяют не только количественные характеристики тепловых процессов, но и качественную картину их протекания. Они значительно усложняют математические модели тепловых процессов, причем во многом эти трудности связаны с невозможностью применения для нелинейных задач принципа суперпозиции решений. Число найденных точных аналитических решений таких нелинейных задач теплопроводности крайне ограничено, но именно анализ этих решений позволяет выявить качественно новые нелинейные эффекты при распространении теплоты. Некоторые такие решения нелинейных задач теплопроводности рассмотрены ниже.

Квазилинейные параболические уравнения второго порядка лежат в основе математических моделей разнообразных явлений и процессов в механике, физике, биологии, экологии, технологии и других отраслей знаний. В частности, уравнение нелинейной теплопроводности (1.1) при определенных условиях описывает фильтрацию жидкостей и газов в пористых материалах, диффузию нейтронов, нелинейный скин-эффект при проникновении магнитного поля в проводящие среды. Это уравнение применимо при математическом описании процессов горения и детонации, химической кинетики, процесса роста и миграции биологических популяций, распространении загрязнений в окружающей среде. Такой диапазон приложений уравнения (1.1) обусловлен тем, что в его основе лежат фундаментальные законы сохранения энергии, массы или числа частиц.

Распределение температуры в неограниченном стержне

Теплопроводность в конечном стержне реферат,-∞˂x˂+∞

Начальное условие: u|t=0=f(x)

Решение:

Теплопроводность в конечном стержне реферат (интеграл Пуассона).

Распределение температуры в стержне, ограниченном с одной стороны

Теплопроводность высокочастотных Процессов, x˂+∞

Начальное условие: u|t=0=f(x)

Краевое условие: u|t=0=φ(t)

Решение:Теплопроводность в конечном стержне реферат

2.2 Распространение тепловых возмущений в нелинейных средах

В работах Г.И. Баренблатта, Я.Б. Зельдовича, С.П. Курдюмова, Л.К. Мартинсона, А.А. Самарского и других найдены точные аналитические решения некоторых задач нелинейной теплопроводности. Анализ свойств этих решений позволяет обнаружить ряд важных нелинейных эффектов при распространении тепловых возмущений в средах, коэффициент теплопроводности которых зависит от температуры.

Рассмотрим среду, коэффициент теплопроводности k которой изменяется в зависимости от температуры и по степенному закону :

k=k0uб (2.1) где Теплопроводность в конечном стержне реферат> 0 — параметр нелинейности среды. Плотность среды ρ и ее теплоемкость будем считать постоянными, не зависящими от температуры. Такую среду, в отличие от среды с постоянным коэффициентом теплопроводности (δ = 0), назовем нелинейной, так как процесс теплопроводности в такой среде в отсутствие объемных тепловых источников описывается нелинейным, точнее, квазилинейным параболическим уравнением Теплопроводность высокочастотных Процессов(2.2), где Теплопроводность в конечном стержне реферат- характерный коэффициент температуропроводности.

При моделировании тепловых процессов в нелинейной среде необходимо использовать такие решения уравнения (2.2), которые удовлетворяют условиям непрерывности температуры и теплового потока. Но так как плотность теплового потока

Теплопроводность в конечном стержне реферат

в такой среде зависит не только от градиента температуры, но и от значения самой температуры, то решения уравнения нелинейной теплопроводности (2.2) следует искать в классе обобщенных функций, допускающих разрывы производных по пространственным переменным там, где функция и обращается в нуль и уравнение (2.2) вырождается.



2.3 Пространственная локализация тепловых возмущений

Еще один интересный нелинейный эффект можно обнаружить при рассмотрении процесса распространения тепловых возмущений в нелинейных средах с объемным поглощением теплоты.

Рассмотрим задачу о влиянии мгновенного плоского сосредоточенного теплового источника в нелинейной среде с коэффициентом теплопроводности, изменяющимся в зависимости от температуры по степенному закону, если в нагретой среде происходит объемное поглощение теплоты, удельная мощность которого в каждой точке среды пропорциональна значению температуры в данный момент времени. Математическая модель такого процесса соответствует задаче Коши для квазилинейного уравнения теплопроводности с младшим членом

Теплопроводность высокочастотных Процессов(3.1)

Здесь Теплопроводность в конечном стержне реферат- коэффициент поглощения.

Поглощение энергии в объеме нелинейной среды приводит к уменьшению интегральной тепловой (внутренней) энергии среды. Поэтому при интегрировании (3.1) по пространственному переменномуТеплопроводность в конечном стержне реферат в пределах от -∞до +∞ находим

Теплопроводность высокочастотных Процессов(3.2)

где Теплопроводность в конечном стержне реферат

Так как Теплопроводность в конечном стержне реферат, то, интегрируя уравнение (3.2), получаем

Теплопроводность высокочастотных Процессов

Для решения задачи (3.1) перейдем с помощью преобразования

Теплопроводность в конечном стержне реферат(3.3) к новой функции v(x,t) .

Тогда уравнение для V принимает вид

Теплопроводность в конечном стержне реферат

Вводя новое независимое переменное (преобразованное время) по правилу

Теплопроводность высокочастотных Процессов(3.4) получаем для функции Теплопроводность в конечном стержне рефератзадачу

Теплопроводность в конечном стержне реферат(3.5)

С точностью до обозначения временного переменного задача (3.5) соответствует задаче о влиянии мгновенного сосредоточенного теплового источника в нелинейной среде без объемного поглощения. Единственное отличие состоит в том, что задача (3.5) сформулирована на конечном «временном» интервале. Поэтому, проведя обратное преобразование переменных, можно записать решение исходной задачи (3.1) в виде

Теплопроводность высокочастотных Процессов(3.6)

Теплопроводность в конечном стержне реферат(3.7)

Зависимости U(τ) и x0(τ) в (7.7) определены формулами в которых время t следует заменить на τ, понимая под τ = τ (t) преобразованное по закону

Теплопроводность в конечном стержне реферат(3.8)

временное переменное. При этом существенно, что преобразованиеТеплопроводность высокочастотных Процессов отображает полубесконечный интервал [0, +∞) по переменному t в ограниченный отрезок [0, τm) по переменному τ .

Финитное решение (3.6) задачи (3.1) представляет собой фронтовое решение, описывающее распространение тепловой волны от мгновенного сосредоточенного источника с конечной скоростью перемещения фронтов x=±x0(Теплопроводность в конечном стержне реферат).

Но главную особенность этого решения можно обнаружить, если проанализировать законы движения фронтов тепловой волны. Из этого анализа следует, что функция Теплопроводность в конечном стержне рефератв любой момент времени t > 0 равна нулю вне области Теплопроводность высокочастотных Процессов, где

Теплопроводность в конечном стержне реферат

Теплопроводность в конечном стержне реферат

Так как при Теплопроводность высокочастотных Процессов, то Теплопроводность в конечном стержне рефераттепловые возмущения от источника проникают в нелинейную среду с объемным поглощением лишь на конечную глубину даже за бесконечный промежуток времени. Тепловые возмущения оказываются локализованными в ограниченной пространственной области.

Как видно на рисунке 1, на плоскости состояний Теплопроводность в конечном стержне рефератзаштрихованная область возмущений, где Теплопроводность высокочастотных Процессов, заключена в полуполосе, конечная ширина которой 2Lm. При этом величина Lm, определяющая размер области локализации тепловых возмущений, зависит от определяющих параметров задачи в соответствии с выражением (3.10).

В частности, размер области пространственной локализации увеличивается с ростом мощности теплового источника Q и уменьшается с увеличением коэффициента поглощения ρ.

Теплопроводность в конечном стержне реферат

Рис. 1

Рис. 1 описывает тепловые возмущения которые оказываются локализованными в ограниченной пространственной области так как тепловые возмущения от источника проникают в нелинейную среду с объемным поглощением лишь на конечную глубину даже за бесконечный промежуток времени.

Эффект пространственной локализации тепловых возмущений в рассмотренной задаче обусловлен объемным поглощением тепловой энергии. Действительно, если Теплопроводность в конечном стержне рефератТо Теплопроводность высокочастотных Процессови, как следует из выражения (3.10), Теплопроводность в конечном стержне реферат, т.е. в среду без объемного поглощения тепловые возмущения проникают неограниченно далеко.

Возможность создания условий, когда удержание разогретой среды в ограниченной области пространства можно осуществить за счет внутренних механизмов нелинейного процесса теплопроводности, является принципиально новым выводом, вытекающим из анализа математической модели (3.1) нелинейного процесса теплопроводности. Реализация таких условий является, в частности, одной из практически важных задач в проблеме управляемого термоядерного синтеза.

Отметим, что своеобразный режим метастабильной локализации тепловых возмущений может наблюдаться и в отсутствие в среде объемного поглощения теплоты. В этом режиме локализации фронт тепловой волны остается неподвижным в течение некоторого конечного промежутка времени. Такая локализация тепловых возмущений наблюдается при нагреве нелинейной среды в режиме с «обострением», когда температура граничной поверхности растет неограниченно за конечный промежуток времени. Такую локализацию теплового воздействия в режиме с обострением иллюстрирует следующая краевая задача нелинейной теплопроводности в полупространстве:

Теплопроводность в конечном стержне реферат(3.11)

ЗдесьA0=const˃0; Теплопроводность высокочастотных Процессов

Параметр Т в задаче (3.11) назовем временем обострения процесса разогрева нелинейной среды, учитывая, что Теплопроводность в конечном стержне рефератпри Теплопроводность в конечном стержне реферат

Задача (3.11) имеет простое по форме решение в разделяющихся переменных:

Теплопроводность высокочастотных Процессов(3.12)

Так как Теплопроводность в конечном стержне рефератпри всех Теплопроводность в конечном стержне рефератдля любого Теплопроводность высокочастотных Процессов, то фронт теплового возмущения х = х0, на котором равны нулю температура и тепловой поток, отделяет нагретую среду от холодной. Фронт неподвижен, несмотря на неограниченный

Теплопроводность в конечном стержне реферат

Рис. 2

Рисунок 2 описывает качественный вид локализованных температурных профилей остановившейся на время тепловой волны в различные моменты времени интервала [0,T). рост температуры в области тепловых возмущений при Теплопроводность в конечном стержне реферат. В течение промежутка времени [0,T) тепловые возмущения от нагретой стенки локализованы в пространственной области Теплопроводность высокочастотных Процессов конечных размеров.

Решение (3.12) можно назвать остановившейся на конечное время тепловой волной. Качественный вид локализованных температурных профилей такой тепловой структуры в различные моменты времени интервала [0, Т) для среды с показателем нелинейности δ= 2 представлен на рисунке 2.

2.4 Задача нелинейной теплопроводности с объемным поглощением

Рассмотрим еще одну задачу нелинейной теплопроводности, имеющую точное решение в аналитической форме. Пусть в нелинейной среде происходят эндотермические процессы, удельная мощность которых зависит от температуры степенным образом. Нестационарный процесс теплопроводности в такой среде с объемным поглощением теплоты описывается квазилинейным уравнением

Теплопроводность в конечном стержне реферат(4.1)

Здесь u(М, t) — температура; р = const > 0 — параметр поглощения, а значение N = 1, 2, 3 определяет размерность пространства, в котором происходит исследуемый процесс.

Запишем модель задачи о влиянии мгновенного сосредоточенного теплового источника в среде с поглощением, если δ< 1, а показатель степени Теплопроводность в конечном стержне реферат. Учитывая симметрию такой задачи (плоскую для N = 1, осевую для N = 2 и центральную для N = 3), сформулируем соответствующую задачу Коши для квазилинейного уравнения теплопроводности:

Теплопроводность высокочастотных Процессов(4.2)

где радиальная пространственная координата r≥0 для случаев N = 2 и N = З и Теплопроводность в конечном стержне рефератдля N = 1. Параметр а2 в уравнении мы положили равным единице, что всегда можно сделать соответствующим выбором масштабов времени или пространственного переменного.

С учетом конечной скорости распространения тепловых возмущений в нелинейной среде будем искать решение задачи (4.2) в виде фронтового решения

Теплопроводность в конечном стержне реферат(4.3)

где A(t) и l(t) — функции, подлежащие определению.

Подставив предполагаемую форму решения (4.3) в уравнение (4.2), получим

Теплопроводность высокочастотных Процессов(4.4)

Можно заметить, что это соотношение приводится к виду Теплопроводность в конечном стержне реферат(4.5) если предположить, что:

Теплопроводность в конечном стержне реферат

т.е. Теплопроводность высокочастотных Процессов(4.6)

Тогда Теплопроводность в конечном стержне реферат(4.7)

Так как условие (4.5) должно выполняться для любых r и t, то это возможно лишь при S(t) = 0. С учетом формулы (4.7) это условие приводит к дифференциальному уравнению для определения функции А(t):

Теплопроводность в конечном стержне реферат(4.8)

Для обеспечения слабой сходимости решения в форме (4.3) при Теплопроводность высокочастотных Процессовк дельтаобразному начальному распределению необходимо, чтобы Теплопроводность в конечном стержне реферат, а Теплопроводность в конечном стержне рефератпри Теплопроводность высокочастотных Процессов. Разделяя переменные в уравнении (4.8), интегрируя и полагая константу интегрирования равной нулю, находим решение.

Теплопроводность в конечном стержне реферат(4.9) неограниченно возрастающее при Теплопроводность в конечном стержне реферат.

Теперь, используя соотношение (4.6), для функции l(t) приходим к следующему дифференциальному уравнению:

Теплопроводность высокочастотных Процессов(4.10)

Общее решение этого неоднородного дифференциального уравнения первого порядка находим как сумму общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения. В результате получаем

Теплопроводность в конечном стержне реферат(4.11)

Таким образом, с учетом уравнений (4.3), (4.9) и (4.11) решение исходной задачи (4.2) можно записать в форме фронтового решения

Теплопроводность в конечном стержне реферат(4.12)

где

Теплопроводность высокочастотных Процессов(4.13)

Теплопроводность в конечном стержне реферат(4.14)

Значение константы С в формуле (4.14) можно найти из соотношения

Теплопроводность в конечном стержне реферат

Теплопроводность высокочастотных Процессов(4.15)

являющегося следствием начального условия задачи Коши (4.2). С учетом выражений (4.12) — (4.14) соотношение (4.15) преобразуется к виду

Теплопроводность в конечном стержне реферат(4.16)

Учитывая, что Теплопроводность в конечном стержне реферат а значение интеграла

Теплопроводность высокочастотных Процессов выражается через бета функцию

Теплопроводность в конечном стержне реферат из выражения (4.16) находим значение константы

Теплопроводность в конечном стержне реферат(4.17)

Таким образом, точное решение задачи (4.2) имеет вид (4.12), где u(t) и r+(t) определены соотношениями (4.13) и (4.14) с константой С, которая находится по формуле (4.17). Найденное решение допускает предельный переход р Теплопроводность высокочастотных Процессов0. Полагая в уравнении (4.14) р = 0, получаем решение задачи о влиянии мгновенного сосредоточенного теплового источника в нелинейной среде без объемного поглощения. Для N = 1 это решение было построено нами ранее.

Дадим физическую интерпретацию решения (4.12). Оно описывает эволюцию тепловой структуры конечных пространственных размеров, которую мы будем называть тепловым импульсом. В любой момент времени t > 0 существует фронт теплового импульса r = r+(t), отделяющий область тепловых возмущений от невозмущенной области, куда тепловые возмущения еще не дошли и где u = 0.

Проанализируем характер движения фронта теплового импульса. Для этого запишем уравнение (4.14) в виде

Теплопроводность в конечном стержне реферат(4.18)

Где

Теплопроводность в конечном стержне реферат

Качественный вид зависимости (4.18) представлен на рисунке.

Теплопроводность высокочастотных Процессов

Рис. 3 описывает качественный вид зависимости движения фронта теплового импульса

На начальной стадии эволюции теплового импульса механизм тепловой диффузии является определяющим и пространственный размер теплового импульса увеличивается с течением времени. В среде распространяется волна разогрева. Затем скорость движения фронта теплового импульса уменьшается, и при t = t*, где

Теплопроводность в конечном стержне реферат

фронт останавливается, проникнув в нелинейную среду с объемным поглощением лишь на конечную глубину.

При t > t* объемное поглощение тепловой энергии становится доминирующим фактором в балансе энергии, и волна разогрева сменяется волной охлаждения, когда ширина теплового импульса уменьшается. Фронт теплового импульса изменяет направление движения, и в момент времени t = tm тепловой импульс стягивается в точку, прекращая свое существование. Тепловой импульс в среде с объемным поглощением тепловой энергии существует конечное время, т.е. для t > tm в любой точке пространства u = 0. Такую локализацию тепловых возмущений с конечным временем их существования в нелинейной среде с поглощением естественно назвать пространственно-временной локализацией.

При р = 0, т.е. в отсутствие объемного поглощения теплоты, из уравнения (4.14) следует монотонный степенной рост ширины теплового импульса (штриховая линия на рисунке 2). Тепловые возмущения в этом случае проникают в среду неограниченно далеко.

Полученные соотношения можно рассматривать и при р < 0, когда в объеме среды протекают экзотермические процессы, приводящие к выделению тепловой энергии. В такой нелинейной среде с объемными тепловыми источниками фронт теплового импульса распространяется с конечной скоростью, однако ширина теплового импульса в соответствии с соотношением (4.14) при р < 0 увеличивается.

Заключение

В данной работе были рассмотрены теплопроводность, некоторые ее свойства, а также несколько видов математических уравнений описывающий этот процесс при различных условиях.

Список используемой литературы

1) http://ru.wikipedia.org/

2) http://google.ru/

3) Мартинсон Л.К., Малов Ю.И. Дифференциальные уравнения математической физики. Издательство: МГТУ им. Н.Э. Баумана. Москва 2002 г. 368с.

4) С. Де Лилло, Д. Лупо, М. Соммакал, Решения нелинейной задачи теплопроводности на полупрямой, ТМФ,2007г.

5) Агошков И.Н. Методы решения задач математической физики. Учебное пособие для студентов, Специализирующихся в области вычислительной математики. 2002 г. 320 с.




Предыдущий:

Следующий: