физика зачет


5.Фундаментальные взаимодействия. Силы различной

природы (упругие, гравитационные, трения), второй закон Ньютона . Масса. Третий закон ньютона.

1. Сила тяготения – сила взаимного притяжения, действующая между двумя материальными телами (точками); она обусловлена гравитационным взаимодействием между телами.

Если размеры тел малы по сравнению с расстоянием между ними (материальные точки) или эти тела имеют сферическую форму и однородны, то сила тяготения между ними

F = (2.17)

(закон всемирного тяготения Ньютона), где m1 и m2 массы тел; r расстояние между телами (в случае шаров – расстояние между их центрами); = 6,6710-11 Нм2/кг2 – гравитационная постоянная.

Применяя закон всемирного тяготения к случаю взаимодействия земного шара с телом массой m, расположенным вблизи земной поверхности на высоте h, получим

, (2.17,а)

где RЗ – радиус Земли; МЗ – масса Земли.

Сила гравитационного притяжения тела к Земле

F = mg , (2.18)

где g – ускорение свободного падения. Такая сила называется силой тяжести. Ускорение свободного падения тела g зависит от его высоты над земной поверхностью:

g = . (2.19)

2. Упругая сила – сила, возникающая при деформации тела, т.е. при изменении его формы или объема, обусловленном действием внешних сил.

Если после прекращения действия внешних сил, вызвавших деформацию, тело полностью восстанавливает свою первоначальную форму и размеры, то оно называется упругим. В таких телах возникают внутренние силы, препятствующие дальнейшему смещению частиц деформируемого тела, в результате чего внешние силы оказываются уравновешенными. Эти внутренние силы называются силами упругости.

Для упругих деформаций справедлив закон Гука: упругая сила, возникающая при деформации сжатия или растяжения, пропорциональна величине деформации:

Fупр = – kx , (2.20)

Рис. 2.6

x

x

равновесие

растяжение

Fупр

x

где x величина абсолютной деформации, а k коэффициент упругости, зависящий от природы и геометрии тела; знак «» означает, что направление упругой силы всегда противоположно направлению смещения частей тела (рис. 2.6).

Упругие свойства тел проявляются также при деформациях кручения и изгиба. С упругими силами связаны силы нормальной реакции опоры N (например, для тела, лежащего на столе) и силы внешнего трения.

3. Все тела обладают способностью оказывать давление друг на друга при непосредственном контакте. При этом в соответствии с третьим законом Ньютона одновременно возникают две равные по модулю и противоположные по направлению силы. Часто одно из тел называют опорой (или подвесом). Направленную перпендикулярно касающимся поверхностям силу P, с которой другое тело действует на опору (подвес), называют весом тела. Силу N, с которой опора действует на тело (также перпендикулярно касающимся поверхностям), называют силой нормальной реакции опоры. Аналогично говорят о силе реакции подвеса.

Причины, вследствие которых возникают силы веса и реакции опоры (подвеса) разнообразны. Чаще всего существенную роль играет сила тяжести. Для тела, лежащего на неподвижной горизонтальной поверхности, вес и сила реакции опоры равны по модулю силе тяжести.

Однако вес и сила тяжести далеко не одно и то же. Во-первых, они приложены к разным объектам: сила веса – к опоре, сила тяжести – к самому телу. Во-вторых, они, вообще говоря, не равны друг другу. Так дело обстоит, например, если опора не горизонтальна или движется с ускорением. Сила веса и сила тяжести могут при этом существенно отличаться как по модулю, так и по направлению. Сила тяжести всегда одинакова по величине и направлена вертикально вниз, к центру Земли. А сила веса может быть направлена под углом к вертикали, горизонтально или даже вертикально вверх. Наконец, в состоянии невесомости (при свободном падении или в кабине космического корабля) вес равен нулю, а сила тяжести действует и даже определяет характер движения.

4. Силы трения появляются при перемещении соприкасающихся тел или их частей друг относительно друга. Трение, возникающее при относительном перемещении двух соприкасающихся тел, называется внешним; трение между частями одного и того же сплошного тела (например, жидкости или газа) называется внутренним.

Трение между поверхностями двух твердых тел при отсутствии какой-либо прослойки, например смазки между ними, называется сухим. Трение между твердым телом и жидкой или газообразной средой, а также между слоями такой среды называется вязким. Силы трения направлены по касательной к трущимся поверхностям (или слоям), причем так, что они противодействуют относительному смещению этих поверхностей (слоев).

В случае сухого трения сила трения возникает не только при скольжении одной поверхности по другой, но и при попытках вызвать такое скольжение. В этом случае она называется силой трения покоя.

Законы сухого трения сводятся к следующему: максимальная сила трения покоя, а также сила трения скольжения не зависят от площади соприкосновения трущихся тел и оказываются приблизительно пропорциональными по модулю силе нормального давления Fn, прижимающей трущиеся поверхности друг к другу:

Fтр = k Fn , (2.21)

(эта формула связывает лишь модули сил, поскольку их векторы неколлинеарны). Безразмерный коэффициент пропорциональности k называется коэффициентом трения (соответственно, покоя или скольжения).

Сухое трение обычно обусловлено шероховатостью соприкасающихся поверхностей. Главной причиной трения гладких поверхностей становятся силы сцепления между молекулами трущихся поверхностей. Замечательная особенность силы трения скольжения состоит в том, что она слабо зависит от относительной скорости трущихся тел.

Сила вязкого трения, напротив, сильно зависит от относительной скорости трущихся слоев жидкости (газа) или скорости v движения тела. При малых скоростях приближенно выполняется закон

Fтр = –α v. (2.22)

Здесь α – коэффициент вязкого трения, зависящий от формы тела; знак «» означает, что направление силы вязкого трения противоположно направлению движения.

2.1. Фундаментальные взаимодействия

В современной физике выделяют четыре вида фундаментальных, т.е. базовых, не сводящихся к каким-либо другим, взаимодействий:

сильное ядерное, обеспечивающее связь частиц в атомном ядре;

слабое ядерное, ответственное за ряд процессов распада элементарных частиц;

электромагнитное, обеспечивающее стабильность атомов и молекул;

гравитационное, проявляющееся, например, как взаимодействие небесных тел и определяющее структуру Вселенной.

Сильное ядерное взаимодействие – самое интенсивное, но короткодействующее: оно сказывается лишь на масштабах атомного ядра (порядка 10-15 м).

Слабое ядерное взаимодействие – малоинтенсивное (порядка 10-13 от сильного ядерного) и также короткодействующее.

Можно сказать, что оба ядерных взаимодействия определяют структуру микромира, тех кирпичиков, из которых «собран» наш привычный мир, макромир. Структура же макромира определяется двумя другими фундаментальными взаимодействиями. Все эффекты, встречающиеся в механике, имеют гравитационную или электромагнитную природу.

Электромагнитное взаимодействие является весьма интенсивным (порядка 10-2 от сильного ядерного) и одновременно – дальнодействующим. Оно могло бы доминировать при галактических масштабах, но редко проявляет себя явным образом в макромире, поскольку встречающиеся в нем объекты, как правило, электрически нейтральны (имеют нулевой суммарный заряд).

По этой причине при больших масштабах размеров практически единолично властвует гравитационное взаимодействие. Оно малоинтенсивное (порядка 10-38 от сильного ядерного), но дальнодействующее. Как и электромагнитное, гравитационное взаимодействие убывает обратно пропорционально квадрату расстояния между взаимодействующими телами (такой характер зависимости связан с трехмерностью макромира).

2.5. Второй закон Ньютона

Итак, импульс замкнутой физической системы сохраняется. Причина изменения импульса тела (и отклонения от режима равномерного прямолинейного движения) внешнее воздействие, мерой которого является сила.

Основным законом динамики поступательного движения является второй закон Ньютона. В самой общей формулировке он читается так: скорость изменения импульса тела равна действующей на него силе.

. (2.5)

Если масса тела в процессе движения не меняется, то можно записать

,

так что получаем

. (2.5а)

В уравнениях (2.5) и (2.5а) под следует понимать равнодействующую всех приложенных к телу сил.

Перепишем уравнение (2.5) в следующем виде:

. (2.5б)

Величина , численно равная произведению силы на время ее действия и направленная по направлению силы, называется импульсом силы.

Заметим, что уравнение (2.5) является, по сути, количественным определением понятия силы: если физическая система не является замкнутой, то ее импульс характеризует меру действующей силы (сравните с уравнением (2.4а) и законом сохранения импульса). Иначе действующая сила есть мера незамкнутости системы.

2.6. Третий закон Ньютона и закон сохранения импульса

Рис. 2.2

1

2

Опыт показывает, что воздействие тел друг на друга всегда является взаимным, парным и силы всегда возникают парами. Если тело 1 действует на тело 2 с силой , то, в свою очередь, тело 2 действует на тело 1 с силой , причем силы взаимодействия равны по величине и противоположны по направлению (рис. 2.2).

В этом заключается суть третьего закона Ньютона: всякому действию есть равное и противоположное противодействие; иначе, силы, с которыми взаимодействуют тела, равны по величине и противоположны по направлению:

. (2.6)

Этот закон является следствием закона сохранения импульса для пары тел. В самом деле, если от выражающего этот закон уравнения взять производную по времени, получим

,

что с учетом (2.5а) дает уравнение (2.6).

Сила – величина векторная. В отличие от других векторов она характеризуется тремя признаками: 1) абсолютной величиной (модулем); 2) направлением; 3) точкой приложения.

9. Вращение твердого тела относительно неподвижной оси.

Основной закон динамики вращательного движения абсолютно твердого тела. Момент инерции.

Основной закон динамики вращательного движения

В случае постоянного момента инерции тела в процессе вращения “Основной закон…” читается так: момент силы (или результирующий момент сил, если их несколько), действующий на тело относительно оси вращения, равен произведению момента инерции тела относительно этой оси на угловое ускорение, с которым вращается тело:

. (3.11)

Моментом инерции (МИ) тела относительно оси ОО называется сумма произведений масс элементарных участков тела на квадрат их расстояния до оси:

I = . (3.2)

Измеряется момент инерции в кг·м.

Моментом инерции материальной точки относительно оси OO называется произведение массы материальной точки на квадрат ее расстояния до этой оси:

Ii = miri2. (3.1)

Большую помощь при вычислениях МИ тел относительно некоторых осей оказывает теорема Штейнера: МИ тела I относительно любой оси равен сумме МИ этого тела Iс относительно оси, проходящей через центр масс тела и параллельно данной, и произведения массы тела на квадрат расстояния d между указанными осями:

I = Iс+ m d2. (3.5)

Величина b = rsin называется плечом силы (кратчайшее расстояние от точки О΄ до линии действия силы).

Моментом силы относительно оси ОО называется скалярная величина М00, равная проекции на эту ось вектора момента силы, определенного относительно точки О΄, лежащей на данной оси.

В нашем случае

.

. (2.11)

Это уравнение выражает основной закон поступательного движения для системы материальных точек: скорость изменения импульса физической системы равна суммарной внешней силе.

2. Из уравнения (2.11) следует, что в отсутствии внешних сил

, (2.12)

т.е. суммарный импульс замкнутой системы тел остается постоянным (закон сохранения импульса для системы материальных точек). Иначе говоря, импульс системы тел может быть изменен только за счет действия внешних сил.

22. Сложение колебаний одинаковой и разной частоты. Биения

Сложение колебаний одной частоты,

направленных вдоль одной прямой

Пусть тело участвует одновременно в двух гармонических колебаниях одной частоты 0 .Смещение х колеблющегося тела будет суммой смещений х1 и х2, которые запишутся следующим образом:

x

А2

А1

А

1

2

21

x1

x2

x

Рис. 5.6

х1 = А1 cos (0t +1),

x2 = A2 cos (0t+ 2). (5.31)

Представим оба колебания с помощью векторов А1 и А2 (рис. 5.6). Построим по правилам сложения векторов результирующий вектор А. Проекция этого вектора на ось х равна сумме проекций слагаемых векторов:

х = х1 + х2 .

Следовательно, вектор А представляет собой результирующее колебание. Этот вектор вращается с той же угловой скоростью 0, что и векторы А1 и А2, так что результирующее движение будет гармоническим колебанием с частотой 0, амплитудой А и начальной фазой . Из построения видно, что

А22 А1А2 cos cos () , (5.32)

. (5.33)

Проанализируем выражение (5.32) для амплитуды:

1. Если разность фаз обоих колебаний 2 1 = 0, то амплитуда результирующего колебания А = А1 + А2 .

2. Если 2 1 = , т.е. оба колебания находятся в противофазе, то .

Если частоты колебаний х1 и х2 неодинаковы, векторы А1 и А2 будут вращаться с различной скоростью. В этом случае результирующий вектор А пульсирует по величине и вращается с непостоянной скоростью.

Результирующим движением в этом случае будет не гармоническое колебание, а некоторый сложный процесс.

5.4.2. Биения

Особый интерес представляет случай, когда два складываемых гармонических колебания мало отличаются по частоте. Результирующее движение при этих условиях можно рассматривать как гармонические колебания с пульсирующей амплитудой. Такие колебания называются биениями.

Обозначим частоту одного из колебаний через , а частоту второго колебания через + . По условию << . Амплитуды обоих колебаний будем полагать одинаковыми и равными А. Допустим, что начальные фазы обоих колебаний равны нулю, тогда уравнения колебаний будут иметь следующий вид:

x1 = A cos t , x2 = A cos ( + ) t . (5.34)

Складывая эти выражения и применяя тригонометрическую формулу для суммы косинусов, получим

x = x1 + x2 = (2A cos ) cos t (5.35)

(во втором множителе пренебрегаем членом по сравнению с ). График функции (5.35) представлен на рис. 5.7, а. Изображен случай / = 10.

Рис. 5.7.

Заключенный в скобки множитель в формуле (5.35) изменяется гораздо медленнее, чем второй множитель. Вследствие условия >> за то время, за которое множитель cos t совершает несколько полных колебаний, множитель, стоящий в скобках, почти не изменится. Это дает нам основание рассматривать колебание (5.35) как гармоническое колебание частоты , амплитуда которого изменяется по некоторому периодическому закону. График амплитуды показан на рис. 5.7,б. Аналитическое выражение амплитуды, очевидно, имеет вид

Амплитуда = . (5.36)

Выражение (5.36) является периодической функцией с частотой, в 2 раза превышающей частоту выражения, стоящего под знаком модуля, т.е. с частотой . Таким образом, частота пульсаций амплитуды – ее называют частотой биения – равна разности частот складываемых колебаний.

20. Векторные диаграммы для представления гармонических колебаний.

Дефференциальное уравнение гармонических колебаний.

Энергия колебательных движений.

Общее решение уравнения (5.3) имеет вид:

x = A cos0t + α) ,

где А и α – произвольные постоянные.

Таким образом, смещение х изменяется со временем по закону косинуса. Следовательно, движение системы, находящейся под действием силы вида F = kx, представляет собой гармоническое колебание. Реальные колебания бывают гармоническими, если они малые, любые конечные колебания ангармоничны.

+A

A

x

t

T

Рис. 5.1

0

График гармонического колебания, т.е. график функции (5.4), показан на рис. 5.1. По горизонтальной оси отложено время t, по вертикальной оси – смещение х.

Поскольку косинус изменяется в пределах от –1 до +1, значения х лежат в пределах от А до +А. Величина наибольшего отклонения системы от положения равновесия называется амплитудой колебания. Амплитуда А постоянная положительная величина. Ее значение определяется величиной начального отклонения или толчка, которым система была выведена из положения равновесия.

Величина (0t+), стоящая под знаком косинуса, называется фазой колебания. Она характеризует состояние колеблющейся системы в произвольный момент времени t. Постоянная , характеризующая состояние системы в начальный момент времени t = 0, называется начальной фазой колебания. Поскольку косинус – периодическая функция с периодом 2, различные состояния системы, совершающей гармонические колебания, повторяются через такой промежуток времени Т, за который фаза колебания получает приращение, равное 2 (рис.5.1). Этот промежуток времени называется периодом колебания.,

. (5.5)

Число колебаний, совершающихся в единицу времени, называется частотой колебания . Частота связана с периодом колебания Т следующим образом:

. (5.6)

За единицу частоты принимается частота такого колебания, период которого равен 1 с. Эту единицу называют герцем (Гц). Частота в 103 Гц называется килогерцем (кГц), в 106 Гц – мегагерцем (МГц).

Из соотношения (5.5) следует, что:

. (5.7)

Таким образом, 0 дает число колебаний за 2 секунд. Величина 0 называется циклической (круговой) собственной частотой колеблющейся системы. Она связана с частотой соотношением

0 = 2 . (5.8)

Продифференцировав (5.4) по времени, получим выражение для скорости тела, совершающего колебательное движение:

v = A0 sin (0t + ) = A0 cos (0t + +) . (5.9)

Eк

En

0

Рис. 5.2

–A

x

t

+A

–A



Страницы: Первая | 1 | 2 | 3 | Вперед → | Последняя | Весь текст


Предыдущий:

Следующий: