физика подготовка настюха


94.Кинематика СТО.

Специальная теория относительности была разработана в начале XX века усилиями Г. А. Лоренца, А. Пуанкаре и А. Эйнштейна. Экспериментальной основой для создания СТО послужил опыт Майкельсона, который дал результат измерения, неожиданный для классической физики своего времени: независимость скорости света от системы отсчёта.

Специальная теория относительности — теория, которая решает две основные задачи: во-первых, приспосабливает пространственно — временную метрику к уравнениям Максвелла. В дальнейшем все известные физические законы были записаны в четырехмерном формализме Минковского, что привело к созданию новой релятивистской (relativ — относительный) физической исследовательской программы, пришедшей на смену механистической исследовательской программе

Созданная Эйнштейном в 1905 году СТО представляет собой физическую теорию пространства и времени для случая пренебрежимо слабых гравитационных полей.Основу теории образуют 2 постулата: принцип относительности Эйнштейна и принцип постоянства скорости света.

«Точечному» событию отвечает в воображаемом четырехмерном пространстве точка с координатами x,y,z и ct.Эту точку принято называть мировой точкой. Всякой частице (даже неподвижной) соответствует в четырехмерном пространстве некоторая линия,называемая мировой линией.

В СТО особую роль играют величины ,являющиеся инвариантными.(величины имеющие одинаковое числовое значение во всех инерциальных системах отсчета).(например,скорость света в вакууме).

95. Основные представления до релятивистской физики.

Основные представления дорелятивистской физики.Напомним сначала те представления о пространстве и времени, которые связаны с законами Ньютона, т. е. лежат в основе ньютоновской механики.

1.Пространство, имеющее три измерения, подчиняется евклидовой геометрии.

2.Наряду с трехмерным пространством существует независимое от него время (независимое в том смысле, в каком три измерения пространства не зависят друг от друга). Но вместе с тем время связано с пространством законами движения. Действительно, время измеряют часами, в принципе представляющими собой любой прибор, в котором используется тот или иной периодический процесс, дающий масштаб времени. Поэтому определить время безотносительно к какому-либо периодическому процессу, т. е. вне связи с движением, невозможно.

3.Размеры твердых тел (масштабы) и промежутки времени между данными событиями одинаковы в разных системах отсчета. Это соответствует ньютоновской концепции абсолютности пространства и времени, согласно которой их свойства считаются не зависящими от системы отсчета — пространство и время одинаковы для всех систем отсчета.

4.Признается справедливость закона инерции Галилея — Ньютона, согласно которому тело, не подверженное действию со стороны других тел, движется прямолинейно и равномерно. Этот закон утверждает существование инерциальных систем отсчета, в которых выполняются законы Ньютона (а также принцип относительности Галилея).

96,97.Преобразования Галилея.Принцип относительности Галилея.

Принцип относительности Галилея:всякое механическое явление при одних и тех же начальных условиях протекает одинаково в любой инерциальной системе отсчета.

Пусть имеются две инерциальные системы отсчёта, одну из которых, S, условимся считать покоящейся; вторая система, S’, движется по отношению к S с постоянной скоростью u так, как показано на рисунке. Тогда преобразования Галилея для координат материальной точки в системах S и S’ будут иметь вид:

  x’ = x — ut, у’ = у, z’ = z, t’ = t     (1)

(штрихованные величины относятся к системе S’, нештрихованные — к S). Т. о., время в классической механике, как и расстояние между любыми фиксированными точками, считается одинаковым во всех системах отсчёта.

Из преобразований Галилея можно получить соотношения между скоростями движения точки и её ускорениями в обеих системах:

  v’ = v — u,     (2)

  a’ = a.

В классической механике движение материальной точки определяется вторым законом Ньютона:

  F = ma, (3)

где m — масса точки, a F — равнодействующая всех приложенных к ней сил. При этом силы (и массы) являются в классической механике инвариантами, т. е. величинами, не изменяющимися при переходе от одной системы отсчёта к другой. Поэтому при преобразованиях Галилея уравнение (3) не меняется. Это и есть математическое выражение Г. п. о.

Г. п. о. справедлив лишь в классической механике, в которой рассматриваются движения со скоростями, много меньшими скорости света. При скоростях, близких к скорости света, движение тел подчиняется законам релятивистской механики Эйнштейна которые инвариантны по отношению к другим преобразованиям координат и временипреобр. Лоренца (при малых скоростях они переходят в преобразования Галилея).

98.Инвариантность.

Инвариантные величины-величины,имеющие одинаковые числовые значения во всех инерциальных системах отсчета.Например,энергия,компоненты импульсаи момента импульса в замкнутых системах. Также инвариантами называются величины, независимые от условий наблюдения, в особенности — от системы отсчета — например интервал в теории относительности инвариантен в этом смысле. Промежуток времени между двумя событиями, а также расстояние между ними (местами событий) для наблюдателей, движущихся в различных направлениях с разными скоростями, будут разными, однако интервал между этими событиями для всех наблюдателей будет один. К этой же категории относится, например скорость света в вакууме.

99.Два постулата СТО.

А.Эйнштейн заложил основы СТО.Эта теория,как и в классической ньютоновской механике,предполагает,что время однородно,а пространство однородно и изотропно.Сформулированы в 1905 году.

Постулат 1 (принцип относительности Эйнштейна). Любое физическое явление протекает одинаково во всех инерциальных системах отсчёта. Это означает, что форма зависимости физических законов от пространственно-временных координат должна быть одинаковой во всех ИСО, то есть законы инвариантны относительно переходов между ИСО. Принцип относительности устанавливает равноправие всех ИСО.

Учитывая второй закон Ньютона можно утверждать, что если скорость некоторого тела в данной ИСО постоянна (ускорение равно нулю), то она должна быть постоянна и во всех остальных ИСО. Иногда это и принимают за определение ИСО.(ИСО — инерциальная система отсчета- это такая система, относительно которой объект, не подверженный внешним воздействиям, движется равномерно и прямолинейно. Постулируется, что ИСО существуют, и любая система отсчёта, движущаяся относительно данной инерциальной системы равномерно и прямолинейно, также является ИСО.

Постулат 2 (принцип постоянства скорости света). Скорость света в «покоящейся» системе отсчёта не зависит от скорости источника.

100.Замедление времени.

Если часы неподвижны в системе , то для двух последовательных событий имеет место . Такие часы перемещаются относительно системы  по закону , поэтому интервалы времени связаны следующим образом:

Важно понимать, что в этой формуле интервал времени  измеряется одними движущимися часами . Он сравнивается с показаниями  нескольких различных, синхронно идущих часов, расположенных в системе , мимо которых движутся часы . В результате такого сравнения оказывается, что движущиеся часы  идут медленнее неподвижных часов. С этим эффектом связан так называемый парадокс близнецов.

Если часы движутся с переменной скоростью  относительно инерциальной системы отсчёта, то время, измеряемое этими часами (т. н. собственное время) может быть вычислено по следующей формуле:

где при помощи интегрирования суммируются интервалы времени в локально инерциальных системах отсчёта (т. н. мгновенно сопутствующих ИСО).

101.Лоренцево сокращение размеров.

Если длину (форму) движущегося объекта определять при помощи одновременной фиксации координат его поверхности, то из преобразований Лоренца следует, что линейные размеры такого тела относительно «неподвижной» системы отсчёта сокращаются:

,

где  — длина вдоль направления движения относительно неподвижной системы отсчёта, а  — длина в движущейся системе отсчёта, связанной с телом (т. н. собственная длина тела). При этом сокращаются продольные размеры тела (то есть измеряемые вдоль направления движения). Поперечные размеры не изменяются.

Такое сокращение размеров ещё называют лоренцевым сокращением. При визуальном наблюдении движущихся тел дополнительно к лоренцевому сокращению необходимо учитывать время распространения светового сигнала от поверхности тела. В результате быстро движущееся тело выглядит повёрнутым, но не сжатым в направлении движения.Импульсы от более удаленных участков были испущены раньше,чем от более близких участков.

Итак,у движущихся тел размеры их в направлении движения сокращаются тем больше,чем больше скорость движения.

102.Релятивистская динамика.

Динамика, основанная на принципах СТО, инвариантная относительно преобразований Лоренца, называется релятивистской динамикой.

Масса движущихся релятивистских частиц зависит от их скорости:где m0-масса покоя частицы,т.е.масса,измеренная в то инерциальной системе отсчета,относительно которой частица находится в покое; с-скорость света в вакууме; m-масса частицы в системе отсчета,относительно которой она движется со скоростью v.Следовательно,масса одной и той же частицы различна в разных инерциальных системах отсчета.Основной закон динамики Ньютона : но только в СТО под  понимается релятивистский импульс частицы. Следовательно, 

.(далее см.учебник)

При нулевой скорости энергия частицы называется энергией покоя: . В современной физической литературе принято, что m — масса частицы не зависит от скорости, являясь инвариантом относительно преобразований Лоренца, и является величиной неаддитивной (то есть масса тела, состоящего из нескольких частей, в отличие от классической механики, не равна сумме масс этих частей). Понятие «релятивистской массы», зависящей от скорости  не используется , хотя оно и встречается в ранних работах по теории относительности. Историческая причина введения этого понятия была связана с попытками сохранить для релятивистского импульса классическую форму: .

При приближении скорости тела к скорости света его энергия и импульс стремятся к бесконечности. Это одна из причин, по которой «обычные» объекты не способны двигаться быстрее скорости света. Для частицы с ненулевой массой даже достижение скорости света потребует затраты бесконечной энергии. Заметные отклонения от классических выражений для энергии и импульса происходят при скоростях, близких к скорости света. Если скорости относительно невелики, то отклонения от классической динамики незначительны. Например, при скорости u=c/4 относительная разница релятивистского и классического импульса составляет всего 3 %.

Между релятивистской энергией и импульсом существуют следующие связи:

Эти формулы остаются справедливыми и для объектов, движущихся со скоростью света. В этом случае их масса покоя должна быть равна нулю .

Преобразования энергии и импульса

Аналогично преобразованиям Лоренца для времени и координат релятивистские энергия и импульс, измеренные относительно различных инерциальных систем отсчёта, связаны аналогичными соотношениями:

где компоненты вектора импульса  равны . Относительная скорость и ориентация инерциальных систем отсчёта S, S’ определены так же, как и в преобразованиях Лоренца.

Уравнения движения



Действующая на тело сила  изменяет его импульс. Поэтому второй закон Ньютона в форме

остаётся справедливым также и в теории относительности. Однако производная по времени берётся от релятивистского импульса, а не от классического. Это приводит к тому, что связь силы и ускорения существенно отличается от классической:

Первое слагаемое содержит «релятивистскую массу», равную отношению силы к ускорению, если сила действует перпендикулярно скорости. В ранних работах по теории относительности её называли «поперечной массой». Именно её «рост» наблюдается в экспериментах по отклонению электронов магнитным полем. Второе слагаемое содержит «продольную массу», равную отношению силы к ускорению, если сила действует параллельно скорости:

Как было отмечено выше, эти понятия являются устаревшими и связаны с попыткой сохранить классическое уравнение движения Ньютона .

Скорость изменения энергии равна скалярному произведению силы на скорость тела:

Это приводит к тому, что, как и в классической механике, составляющая силы, перпендикулярная к скорости частицы, не изменяет её энергию (например, магнитная составляющая в силе Лоренца).

Так как релятивистский импульс не пропорционален скорости частицы, скорость его изменения не будет прямо пропорциональна ускорению. Поэтому постоянная по модулю и направлению сила не вызывает равноускоренного движения. Например, в случае одномерного движения вдоль оси x ускорение частицы  под действием постоянной силы оказывается равным 

Если скорость классической частицы беспредельно растет под действием постоянной силы, то скорость релятивистской частицы не может превысить скорость света c в пустоте. В релятивистской механике, так же, как и в механике Ньютона, выполняется закон сохранения энергии. Кинетическая энергия тела Ek определяется через работу внешней силы, необходимую для сообщения телу заданной скорости. Чтобы разогнать частицу массы m из состояния покоя до скорости υ0 под действием постоянной силы F, эта сила должна совершить работу 

Поскольку a dt = dυ, окончательно можно записать 

Вычисление этого интеграла приводит к следующему выражению для кинетической энергии (индекс «ноль» при скорости υ опущен): 

Эйнштейн интерпретировал первый член в правой части этого выражения как полную энергию E движущийся частицы, а второй член как энергию покоя E0

(**)

E0 = mc2.

(***)

Кинетическая энергия Ek релятивистской динамики есть разность между полной энергией E тела и его энергией покоя E0

Ek = E – E0.

Рис. 4.5.1 иллюстрирует изменение кинетической энергии частицы в зависимости от ее скорости для частиц, подчиняющихся классическому и релятивистскому законам.

Рисунок 4.5.1.

Зависимость кинетической энергии от скорости для релятивистской (a) и классической (b) частиц. При υ << cоба закона совпадают

Чрезвычайно важный вывод релятивистской механики заключается в том, что находящаяся в покое масса m содержит огромный запас энергии. Это утверждение имеет разнообразные практические применения, включая использование ядерной энергии. Если масса частицы или системы частиц уменьшилась на Δm, то при этом должна выделиться энергия ΔE = Δm · c2. Многочисленные прямые эксперименты дают убедительные доказательства существования энергии покоя. Первое экспериментальное подтверждение правильности соотношения Эйнштейна, связывающего массу и энергию, было получено при сравнении энергии, высвобождающейся при радиоактивном распаде, с разностью масс исходного ядра и конечных продуктов. Например, при бета-распаде свободного нейтрона появляется протонэлектрон и еще одна частица с нулевой массой – антинейтрино

При этом суммарная кинетическая энергия конечных продуктов равна 1,25·10–13 Дж. Масса нейтрона превышает суммарную массу протона и электрона на Δm = 13,9·10–31 кг. Такому уменьшению массы должна соответствовать энергия ΔE = Δm · c2 = 1,25·10–13 Дж, равная наблюдаемой кинетической энергией продуктов распада.

Чтобы возникло ощущение масштабов этого явления в макромире, рассмотрим такой пример. При взрыве 1 т тринитротолуола высвобождается энергия 4,2·109 Дж. При взрыве мегатонной бомбы выделится энергия 4,2·1015 Дж. Соответствующая этой громадной энергии масса m = E / c2 оказывается равной всего 46 г. Таким образом, при взрыве ядерной мегатонной бомбы масса ядерной «взрывчатки» должна уменьшится примерно на 50 г. Полная первоначальная масса водородной бомбы, эквивалентной по мощности 1 мегатонне тринитротолуола, примерно в 1000 раз больше и составляет около 50 кг.

Закон пропорциональности массы и энергии является одним из самых важных выводов СТО. Масса и энергия являются различными свойствами материи. Масса тела характеризует его инертность, а также способность тела вступать в гравитационное взаимодействие с другими телами. Важнейшим свойством энергии является ее способность превращаться из одной формы в другую в эквивалентных количествах при различных физических процессах – в этом заключается содержание закона сохранения энергии. Пропорциональность массы и энергии является выражением внутренней сущности материи. Формула Эйнштейна 

E0 = mc2

выражает фундаментальный закон природы, который принято называть законом взаимосвязи массы и энергии.

Комбинируя выражение (*) для релятивистского импульса  и выражение (**) для полной энергии E, можно получить соотношение, связывающее эти величины. Для этого удобно формулы (*) и (**) переписать в следующем виде: 

(*)

(**)

Вычитая почленно, можно получить 

E2 = (mc2)2 + (pc)2.

Отсюда еще раз следует, что для покоящихся частиц (p = 0) E = E0 = mc2.

Полученное соотношение показывает, что частица может иметь энергию и импульс, но не иметь массы (m = 0). Такие частицы называются безмассовыми. Для безмассовых частиц связь между энергией и импульсом выражается простым соотношением 

E = pc.

К безмассовым частицам относятся фотоны – кванты электромагнитного излучения и, возможно, нейтрино. Безмассовые частицы не могут существовать в состоянии покоя, во всех инерциальных системах отсчета они движутся с предельной скоростью c.

5.4. Основной закон релятивистской динамики. Релятивистская энергия

Изменение скорости тела в релятивистской механике влечет за собой изменение массы, а, следовательно, и полной энергии, т.е. между массой и энергией существует взаимосвязь. Эту универсальную зависимость – закон взаимосвязи массы и энергии – установил А. Эйнштейн:                                                (5.12)      Из (5.13) следует, что любой массе (движущейся m или покоящейся m0) соответствует определенное значение энергии. Если тело находится в состоянии покоя, то его энергия покоя

      Энергия покоя является внутренней энергией тела, которая складывается из кинетических энергий всех частиц, потенциальной энергии их взаимодействия и суммы энергий покоя всех частиц.      В релятивистской механике не справедлив закон сохранения массы покоя. Именно на этом представлении основано объяснение дефекта массы ядра и ядерных реакций.      В СТО выполняется закон сохранения релятивистской массы и энергии: изменение полной энергии тела (или системы) сопровождается эквивалентным изменением его массы:                                                         (5.13)      Таким образом, масса тела, которая в классической механике является мерой инертности или гравитации, в релятивистской механике является еще и мерой энергосодержания тела.      Физический смысл выражения (5.14) состоит в том, что существует принципиальная возможность перехода материальных объектов, имеющих массу покоя, в электромагнитное излучение, не имеющее массы покоя; при этом выполняется закон сохранения энергии.      Классическим примером этого является аннигиляция электрон-позитронной пары и, наоборот, образование пары электрон-позитрон из квантов электромагнитного излучения:

      В релятивистской динамике значение кинетической энергии Ek определяется как разность энергий движущегося E и покоящегося E0 тела:          (5.14)      При v << c уравнение (5.15) переходит в классическое выражение

      Из формул (5.13) и (5.11) найдем релятивистское соотношение между полной энергией и импульсом тела:                                                         (5.15)      Закон взаимосвязи массы и энергии полностью подтвержден экспериментами по выделению энергии при протекании ядерных реакций. Он широко используется для расчета энергического эффекта при ядерных реакциях и превращениях элементарных частиц.      Краткие выводы

Специальная теория относительности – это новое учение о пространстве и времени, пришедшее на смену классическим представлениям. В основе СТО лежит положение, согласно которому никакая энергия, никакой сигнал не может распространяться со скоростью, превышающей скорость света в вакууме. При этом скорость света в вакууме постоянна и не зависит от направления распространения. Это положение принято формулировать в виде двух постулатов Эйнштейна – принципа относительности и принципа постоянства скорости света.

Область применения законов классической механики ограничена скоростью движения материального объекта: если скорость тела соизмерима со скоростью света, то необходимо использовать релятивистские формулы. Таким образом, скорость света в вакууме является критерием, определяющим границу применимости классических законов, т.к. она является максимальной скоростью передачи сигналов.

Зависимость массы движущегося тела от скорости движения определяется соотношением

Релятивистский импульс тела и соответственно уравнение динамики его движения

Изменение скорости в релятивистской механике влечет за собой изменение массы, а, следовательно, и полной энергии:

В СТО выполняется закон сохранения релятивистской массы и энергии: изменение полной энергии тела сопровождается эквивалентным изменением ее массы:

Физический смысл этого соотношения заключается в следующем: существует принципиальная возможность перехода материальных объектов, имеющих массу покоя, в электромагнитное излучение, не имеющее массы покоя; при этом выполняется закон сохранения энергии. Это соотношение является важнейшим для ядерной физики и физики элементарных частиц.




Предыдущий:

Следующий: